多项式的逆

数学中很多元素在一定条件下都存在逆元。多项式的逆元是什么呢？

从乘法逆元出发，一个简单的想法是，多项式 \(g(x)\) 是 \(f(x)\) 的逆元当且仅当 \(f(x)\cdot g(x)=0\)。遗憾的是，只有当 \(f(x)\) 只有常数项时才存在这样的多项式 \(g(x)\)，否则 \(g(x)\) 必须为无穷的幂级数。因此，我们在模的意义下考虑多项式的逆，得到多项式逆元的定义：

\(f(x)\) 的逆元 \(g(x)\) 是一个满足 \(f(x)\cdot g(x)\equiv 1\pmod{x^n}\) 的多项式。

分别用 \(f_{0..n-1}\) 和 \(g_{0..n-1}\) 来表示 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的系数，把 \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\) 写下来：

\[h(x)\cdot g(x)\equiv \sum\limits_{i=0}^{n-1}\sum\limits_{j=0}^{i}f_{j}g_{i-j}\cdot x^{i} \]

要满足上面的定义，\(h(x)\cdot g(x)\) 就只有 \(x^0\) 项为 \(1\)，其余项为 \(0\)，即

\[f_0g_0=1 \]

和

\[\forall i\ge 1: \sum\limits_{j=0}^{i}f_{j}g_{i-j}=0 \]

这两个条件都成立，\(g(x)\) 才是 \(f(x)\) 的逆元。由第一个条件可知，若 \(f(x)\) 的常数项为 \(0\)，则 \(g(x)\) 一定不存在（\(0\) 不存在逆元）。若 \(f(x)\) 的常数项不为零，是否就一定存在 \(g(x)\) 满足第二个条件呢？

考虑把上面的式子视作一个 \(n\) 元一次方程组，\(f_{0..n-1}\) 是已知系数，\(g_{0..n-1}\) 是未知数。条件给出了 \(n\) 个次数上升的等式，方程组一定有解，而且有唯一解。

\[\begin{cases}f_0g_0&=1\\f_0g_1+f_1g_0&=0\\f_0g_2+f_1g_1+f_2g_0&=0\\f_0g_3+f_1g_2+f_2g_1+f_3g_0&=0\\ \ldots\\ f_0g_{n-1}+f_1g_{n-2}+f_2g_{n-3}+\ldots+f_{n-1}g_0&=0\end{cases} \]

也就是说， \(f(x)\) 在模 \(x^n\) 意义下存在逆元，当且仅当 \(f(x)\) 的常数项非零；若 \(f(x)\) 存在逆元，它一定只有一个逆元。

根据上述方程组求逆的时间复杂度是 \(O(n^2)\)，更快的 \(O(n\log n)\) 算法请参考Newton's Method。