雅克比矩阵

在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。

定义

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 在向量分析中，雅可比矩阵是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。假设某函数从Rn映到Rm其雅可比矩阵是从Rn到R^m 的线性映射， 其雅可比矩阵是从的线性映射，其重要意义在于它表现了一个多变数向量函数的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于单变数函数的导数。 假设F:R_n 到 R_m 是一个从n维欧氏空间映射到到m维欧氏空间的函数。这个函数由m个实函数组成：

这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵，这个矩阵就是所谓的雅可比矩阵：

此矩阵用符号表示为：

y_i (i=1,2,....,m)这个矩阵的第 i行是由梯度函数的转置表示的

如果p是Rⁿ中的一点，F在 p点可微分，根据高等微积分，I_F(p)是在这点的导数。在此情况下，I_F(p)这个线性映射即F在点p附近的最优线性逼近，也就是说当x足够靠近点p时，我们有

例子

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的F函数:

其雅可比矩阵为:

此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。