多重背包问题

1。朴素方法

有 NN 种物品和一个容量是 V的背包。

第 ii 种物品最多有 si件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

 

可以拆分成 0-1 背包问题 

把 s件 i 物品 ，视为 s个 不同的物品

 

全部初始化为零

f [i] [j] 表示 前i种物品，满足体积小于J，最大价值

状态转移方程 

当 V[i] > j 时

f[i] [j] =  f [ i-1] [j]

当 V[i] *k < =j  &&  k<= s[i]

f[i] [j] = max( f[i-1][j] ,f[i-1][j- 1*v[i] + w[i] , f[i-1][j-2*v[i]+ 2* w[i] )

时间复杂度 o（n*m*s) 

2. 二进制优化

对拆分进行优化，把 s拆成 若干个数， 使这几个数可以表示 0—s 的所有组合。

例如  11 = 1011₂ = 111₂+100₂= 4+2+1+4

         14 = 1110₂ = 111₂+111₂=  4+2+1+7

因此 s件 需要 log（s-1）向上取整 个数表示

// 物品属性存于数组 v[] w[] s[]
//                       体积 价值  数量

struct good{
    int v,w;
};

vector<good> Good;
for(int i=0; i<v.size();i++){
    int s= s[i];
    for(int k =1; k<=s; k*=2){
        s-=k;
        Good.push_back( good(v[i]*k , w[i]*k));
    }
    if(s>0)
        Good.push_back( good( v[i]*s, w[i]*k));
}
        

3. 优先队列优化

复杂度 o( m*n) 

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