背包问题

作为dp问题有代表的一种，对背包问题做笔记，抽象为一批背包问题。

1。问题描述

    01背包问题

有 NN 件物品和一个容量是 VV 的背包。每件物品只能使用一次。

第 ii 件物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

完全背包问题

有 NN 种物品和一个容量是 VV 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 ii 种物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

2. dp数组与 状态转移

二维数组dp[i] [j]  代表前 i 件物品，（或者恰好）最大容量为 j ，可以获得的最大价值。

空间优化后，可以 用dp[ j ] 记录，代表当前 i 循环中，考虑前 i个物品，（或者恰好）最大容量为j，可以获得的最大价值。

状态转移  写成二维的

        dp[ i ] [j ] = dp [ i-1] [ j ]                                            当 j< v[ i ];

                       = max( dp[i-1][j] , dp[i-1][ j - v[i] ] +w[i] )   当j > =v[i];  

3.初始化

由于状态方程是将前面的价值与当前选择累计相加。

因此当把所有 dp [ 0 ] [j] 设为 0 时， 满足条件是 dp[i] [ j] 代表 不超过J 体积的最大容量。

 而若把dp[0][0]=1, 其他初始化为 dp[0] [j] =0( j!=0) ,满足条件是dp[i][j] 代表 恰好为 J体积的最大容量。

4 完全背包与 01背包

完全背包问题 在 for（ j )循环时 ， 从 v[i ] 到 V循环

这样 如果 最优解中 i物品被选取 k次， 这种状态会被 枚举到 。

如果是 01 背包问题， for(j) 循环，必须从 V 到v[ i] 循环

这样，考虑

   dp[ i ] [j ] =    max( dp[i-1][j] , dp[i-1][ j - v[i] ] +w[i] )  时

后边的 dp[i-1] [j -v[i] ] 还存在没有被更新。