背包问题
作为dp问题有代表的一种,对背包问题做笔记,抽象为一批背包问题。
1。问题描述
01背包问题
有 NN 件物品和一个容量是 VV 的背包。每件物品只能使用一次。
第 ii 件物品的体积是 vivi,价值是 wiwi。
求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值。
完全背包问题
有 NN 种物品和一个容量是 VV 的背包,每种物品都有无限件可用。
第 ii 种物品的体积是 vivi,价值是 wiwi。
求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值。
2. dp数组与 状态转移
二维数组dp[i] [j] 代表前 i 件物品,(或者恰好)最大容量为 j ,可以获得的最大价值。
空间优化后,可以 用dp[ j ] 记录,代表当前 i 循环中,考虑前 i个物品,(或者恰好)最大容量为j,可以获得的最大价值。
状态转移 写成二维的
dp[ i ] [j ] = dp [ i-1] [ j ] 当 j< v[ i ];
= max( dp[i-1][j] , dp[i-1][ j - v[i] ] +w[i] ) 当j > =v[i];
3.初始化
由于状态方程是将前面的价值与当前选择累计相加。
因此当把所有 dp [ 0 ] [j] 设为 0 时, 满足条件是 dp[i] [ j] 代表 不超过J 体积的最大容量。
而若把dp[0][0]=1, 其他初始化为 dp[0] [j] =0( j!=0) ,满足条件是dp[i][j] 代表 恰好为 J体积的最大容量。
4 完全背包与 01背包
完全背包问题 在 for( j )循环时 , 从 v[i ] 到 V循环
这样 如果 最优解中 i物品被选取 k次, 这种状态会被 枚举到 。
如果是 01 背包问题, for(j) 循环,必须从 V 到v[ i] 循环
这样,考虑
dp[ i ] [j ] = max( dp[i-1][j] , dp[i-1][ j - v[i] ] +w[i] ) 时
后边的 dp[i-1] [j -v[i] ] 还存在没有被更新。