爬楼梯问题
有一楼梯共M级，刚开始时你在第一级，若每次只能跨上一级或二级，要走上第M级，共有多少种走法？
一个可以运行的程序，解释在后边：
#include "stdio.h"
int f(int x){
if(x==1)
return 1;
if(x==2)
return 2;
return (f(x-1)+f(x-2));
}
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
printf("%d",f(n));
return 0;
}
方法一，直接思考问题：
设f(x)=【剩x阶时，迈楼梯的方法总数】。首先迈出第一步，如果一次迈一阶，剩下x-1阶，方法总数为f(x-1)；如果一次迈两阶，剩下x-2阶，方法总数为f(x-2);这里f(x-1) f(x-2)都是我们不知道的。这里只是找出一个递推关系式。即f(x)=f(x-1)+f(x-2)。容易发现，f(1)=1，f(2)=2。
方法二，抽象成数学问题，找出递推关系式：
如果x为1时，只可以迈一步，共有一种方法。
如果x为2时，可以一次迈一步，也可以一次迈两步，共有两种方法。
如果x为3时，可以先1，后2；可以先2，后1；也可以1，1，1；共有三种方法。满足f(1)+f(2)。
如果x为4时，1,1,1,1; 1,2,1; 1,1,2; 2,1,1; 2,2; 共有五种方法。满足f(2)+f(3)。
......
发现规律：f(x)=f(x-2)+f(x-1);
总结：
做递归函数时，我们不妨先从较小的数开始做实验，找出潜在的数学规律，抽象成数学问题。【即找出递推关系式】。这样比直接思考问题要简单一些。
一个楼梯有20级，每次走1级或两级，请问从底走到顶一共有多少种走法？
分析：假设从底走到第n级的走法有f（n）种，走到第ｎ级有两个方法，一个是从（n-1)级走一步，另一个是从第（ｎ－２）级走两步，前者有f(n-1)种方法，后者有f(n-2)种方法，所以有f(n)=f(n-1)+f(n-2),还有f(0)=1,f(1)=1.
递归编程实现
程序１
#include <stdio.h>
int f(int n)
{
if(n==0 || n==1) return 1;
else return f(n-1)+f(n-2);
}
int main()
{
printf("%d\n",f(20));
return 0;
}
现在来说说动态规划的基本思想
动态规划的关键是发现子问题和怎么记录子问题，以上面的例子说明
（１）对子问题可递归的求解，当n>1时，f(n)=f(n-1)+f(n-2);否则，f(1)=f(0)=1;
(2)这些子问题是有重叠的，即求解某个问题时，某些子问题可能需要求解多次。例如求解f(5)时，f(2)就被求解了３次。
在上面两个条件下，用动态规划的方式来求解会高效很多。就是把子问题记录下来，每个子问题只求解一次，从而提高了效率。
程序２
#include <stdio.h>
int result[100];
int f(int n)
{
int res;
if(result[n]>=0) return result[n];
if(n==0 || n==1) res=1;
else res=f(n-1)+f(n-2);
result[n]=res;
return res;
}
int main()
{
int i;
for(i=0;i<=20;i++)
result[i]=-1;
printf("%d\n",f(20));
return 0;
}
程序３
#include <stdio.h>
int f[100];
int main()
{
int i;
f[0]=1;
f[1]=1;
for(i=2;i<=20;i++)
f[i]=f[i-1]+f[i-2];
printf("%d\n",f[20]);
return 0;
}
程序３是否让你想起了那个兔子繁殖的问题呢？
小结一下
动态规划，采用分治的策略，把求最优解问题分解为求若干子问题的最优解，记录子问题的解，化繁为简，很实用，也很高效。
