二进制思想和多重背包问题

二进制思想

问题描述：

　　假设有1000个苹果，现在要取n个苹果，如何取？正常的做法应该是将苹果一个一个拿出来，直到n个苹果被取出来。

　　又假设有1000个苹果和10只箱子，如何快速的取出n个苹果呢？可以在每个箱子中放 2^i (i<=0<=n)个苹果，也就是 1、2、4、8、16、32、64、128、256、489（最后的余数），相当于把十进制的数用二进制来表示，取任意n个苹果时，只要推出几只箱子就可以了。

多重背包问题

问题描述：

　　有N种物品和一个容量为V的背包。第 i 种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

问题分析：

 

　　很容易想到可以把该问题转化成01背包问题来考虑，把每n[i] 中的每个物品都当成一个独立的物品，而这 n[i] 个物品能够表示的重量其实用 log n[i]个组合后的物品就能表示。

内层循环代码如下：

int k, t;
k = 1;
t = n[i];
while(t > k)
{
    for(j=W; j>=c[i]*k; --j)
    {
        f[j] = max(f[j], f[j-c[i]*k] + w[i]*k);
    }
    t -= k;
    k *= 2;
}
for(j=W; j>=c[i]*t; --j)
{
    f[j] = max(f[j], f[j-c[i]*t] + w[i]*t);
}

poj上的1014是一道简单的多重背包问题。http://poj.org/problem?id=1014

源码如下：

#include <stdio.h>
#define max(x, y) ((x)>(y) ? (x) : (y)) 
int f[80001];
int main()
{
    int c[7];
    int i, j;
    int m = 0;
    int nHarf = 0;
    while(scanf("%d %d %d %d %d %d", &c[1], &c[2], &c[3], &c[4], &c[5], &c[6]) )
    {
        if(c[1]==0 && c[2]==0 && c[3]==0 && c[4]==0 && c[5]==0 && c[6]==0)
        {
            break;
        }
        printf("Collection #%d:\n", ++m);
        nHarf = c[1]*1 + c[2]*2 + c[3]*3 + c[4]*4 + c[5]*5 + c[6]*6;
        if(nHarf%2 == 1)
        {
            printf("Can't be divided.\n\n");
            continue;
        }
        else
        {
            nHarf /= 2;
        }
        for(i=1; i<7; ++i)
        {
            if(c[i] == 0) continue;
            if(c[i]*i > nHarf)
            {
                for(j=i; j<=nHarf; ++j)
                {
                    f[j] = max(f[j], f[j-i] + i);
                }
            }
            else
            {
                int k, t;
                k = 1;
                t = c[i];
                while(t > k)
                {
                    for(j=nHarf; j>=i*k; --j)
                    {
                        f[j] = max(f[j], f[j-i*k] + i*k);
                    }
                    t -= k;
                    k *= 2;
                }
                for(j=nHarf; j>=i*t; --j)
                {
                    f[j] = max(f[j], f[j-i*t] + i*t);
                }
            }
        }
        if(f[nHarf] == nHarf)
        {
            printf("Can be divided.\n\n");
        }
        else
        {
            printf("Can't be divided.\n\n");
        }
        for(i=0; i<=nHarf; ++i)
        {
            f[i] = 0;
        }
    }
    return 0;
}