实现 sqrt(x)：二分查找法和牛顿法

最近忙里偷闲，每天刷一道 LeetCode 的简单题保持手感，发现简单题虽然很容易 AC，但若去了解其所有的解法，也可学习到不少新的知识点，扩展知识的广度。

创作本文的思路来源于：LeetCode Problem 69. x 的平方根

简述题目大意（不想跳转链接，可以看这里）：给定一个非负整数 x，要求计算并返回 x 的平方根（取整）。例如，输入 4，则输出 2；输入 8，则输出 2（8 的平方根是 2.82842……，由于返回类型是整数，因此小数部分被舍去）。即给定一个 \(x\)，我们要计算出 \(\lfloor \sqrt{x} \rfloor\)。

最简单最直觉的方法自然是从 0 开始遍历，直到找到第一个其平方值大于 \(x\) 的数 \(n\)，则 \(n-1\) 即是答案。对于任意的 \(x\)，其取整后平方根一定在 \([0, x]\) 区间上，代码如下：

int sqrt(int x)
{
    if (x == 0)
        return x;
    int ans = 1;
    while (ans <= x / ans)
        ans++;
    return ans - 1;
}

这里需要注意的有两点：

1. 第 6 行代码中，while 的判断条件可以避免溢出。很大概率上，你可能会写成 while (ans * ans <= x)，这更自然、更直观，但当 ans 的值很大时，ans * ans 的结果可能会超过 int 类型的最大表示范围。举个例子，比如我们要计算 \(x\) 的取整平方根（其值为 \(n\)，即 \(\lfloor \sqrt{x} \rfloor = n\)），算法会将 ans 遍历到第一个平方超过 \(x\) 的值，即 \(n+1\) 后停止。如果 \(x\) 的值就是 int 类型能够表示的最大值，那么当 ans 遍历到 \(n+1\) 时，计算 ans * ans 的结果就超出了 int 类型的表示范围。
2. 由于在 while 的循环判断中，我们用除法代替了乘法，因此 ans 便不能再从 0 开始遍历（否则会导致除零错误）。为此，我们可以在算法开始单独处理 \(x = 0\) 的情况，然后让 ans 从 1 开始遍历。

作为一道简单题，这种暴力朴素的算法自然是可以 AC 的。但其效率极低（需要遍历 \(O(\sqrt{n})\) 次），在 LeetCode 上的时间效率只能快过约 5% 的用户，使用 C++ 语言的运行时间平均要 90ms 以上。因此，本文提供了两种更加高效的算法：二分查找法和牛顿法。

1. 二分查找法

如果你在暴力求解的基础上继续思考，很大概率会想到用二分搜索求解。

没错，思考暴力求解的策略，我们在区间 \([0, x]\) 上搜索解，而搜索区间 \([0, x]\) 天然是有序的，自然可以用二分搜索代替线性搜索，以大大提高搜索效率。

更进一步的，我们还可以缩小我们的搜索区间。直觉告诉我们，对于一个非负整数 \(x\)，其 \(\sqrt{x}\) 应该不会大于 \(x / 2\)（例如，\(\sqrt{25} = 5\)，小于 \(25 / 2 = 12.5\)）。我们可以证明：

\[\begin{aligned} &\text{设 } y = \frac{x}{2} - \sqrt{x},\text{ 则 } y^\prime = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}}, \\[2ex] &\text{令 } y^\prime = 0, \text{ 可得驻点 } x = 1, \\[2ex] &\text{当 } x > 1 \text{ 时}, y^\prime > 0, \text{ 即当 } x > 1 \text{ 时 }, y = \frac{x}{2} - \sqrt{x} \text{ 的值单调递增}, \\[2ex] &\text{可推出, 当 } x > 1 \text{ 时}, \lfloor \frac{x}{2} \rfloor - \lfloor \sqrt{x} \rfloor \text{ 的值单调递增}, \\[2ex] &\text{又因为当 } x = 2 \text{ 时}, \lfloor \frac{x}{2} \rfloor - \lfloor \sqrt{x} \rfloor = 0, \\[2ex] &\text{所以当 } x \geq 2 \text{ 时}, \lfloor \frac{x}{2} \rfloor - \lfloor \sqrt{x} \rfloor \geq 0, \text{ 即 } x \geq 2 \text{ 时}，\lfloor \frac{x}{2} \rfloor \geq \lfloor \sqrt{x} \rfloor &\text{(证毕)} \end{aligned} \]

通过证明我们可以得知，当所求的 \(x\) 大于等于 \(2\) 时，sqrt(x) 的搜索空间为 \([1, x / 2]\)，对于 \(x < 2\) 的情况，我们只要特殊处理即可（这里我们也可以得到结论：当 \(x \geq 1\) 时，\(\lfloor \frac{x}{2} \rfloor + 1 \geq \lfloor \sqrt{x} \rfloor\)，然后单独处理 \(x < 1\) 的情况）。代码：

int sqrt(int x)
{
    if (x < 2)	// 处理特殊情况
        return x;
    
    int left = 1, right = x / 2;
    while (left <= right) {
        # 避免溢出，相当于 mid = (left + right) / 2
        int mid = left + ((right - left) >> 1);
        if (mid == x / mid)
            return mid;
        else if (mid > x / mid)
            right = mid - 1;
        else
            left = mid + 1;
    }
    return right;
}

在这里解释一下最后的返回值为什么是 right。对于二分查找，其搜索空间会不断收缩到 left == right（关于二分查找，这里不多赘述，自行手动模拟即可），此时 mid、left和 right 三者的值相等（mid = (left + right) / 2）。根据二分查找的搜索范围的收缩条件可知，left（或 mid）左侧的值都小于等于 \(\lfloor \sqrt{x} \rfloor\)，right（或 mid）右侧的值都大于 \(\lfloor \sqrt{x} \rfloor\)，此时（while 的最后一次循环），判断 mid 的平方与 x 的大小，有三种情况：

1. mid == x / mid。则在循环内直接返回 mid 的值。
2. mid > x / mid。这种情况下，因为 mid 左侧的值都小于等于 \(\lfloor \sqrt{x} \rfloor\)，而 mid 的值大于 \(x\)，则 mid-1 即是答案。而按照分支条件，执行 right = mid - 1，可知 right 的值正是应返回的值。此时，循环结束，应返回 right。
3. mid <= x / mid。这种情况下，mid、left 和 right 正是计算答案（右边的值都大于 \(\lfloor \sqrt{x} \rfloor\)）。按照分支条件，执行 left = mid + 1，循环结束。此时，mid 和 right 的值为计算结果。

综合上面三点可知，如果 while 循环结束，则 right 保存的值一定是计算结果。

和之前的暴力法相比，使用二分查找的思想求解 sqrt(x)，只需要循环遍历 \(O(\lg{\frac{x}{2}})\) 次；空间复杂度为 \(O(1)\)。

2. 牛顿—拉弗森迭代法

牛顿—拉弗森迭代法（简称牛顿法）使用以直代曲的思想，是一种求解函数的方法，不仅仅适用于求解开方计算。当然使用牛顿法求解函数也存在很多坑，但对于求解开方而言，牛顿法是安全的。关于这一方法，你需要掌握一定的高等数学知识，想了解详细的内容，可以参考链接：如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法求开方？数值分析？—马同学的回答

简单的理解，可以参考图片：

图片来源：牛顿法与拟牛顿法

给定任意一个非负整数 \(n\)，我们想要找到一个 \(x = \lfloor \sqrt{n} \rfloor\)，这相当于我们要计算函数 \(f(x) = x^2 - n\) 的根。我们首先需要先给出一个猜测值 \(x_0\)，不妨令 \(x_0 = \frac{x}{2} + 1\)（证明见第一小节），然后在 \(f(x_0)\) 处作函数的切线，切线与 \(x\) 轴的交点，即为一次迭代后的值 \(x_1\)。若 \(x_1\) 不是要得到的结果，则继续迭代，在 \(f(x_1)\) 处作函数的切线，切线与 \(x\) 轴的交点，即为第二次迭代后的值 \(x_2\)。以此类推，直到得到 \(x_n = \lfloor \sqrt{n} \rfloor\)。

现在我们来推导迭代式。对于 \(x_i\)，其函数值为 \(f(x_i)\)，则对于点 \((x_i, f(x_i))\)，可得其切线方程：

\[\begin{align} &y - f(x_i) = f(x_i)^\prime(x - x_i) \\[2ex] \implies &y - (x_i^2 - n) = 2x_i(x - x_i) \\[2ex] \implies &y + x_i^2 + n = 2x_ix \end{align} \]

又因为 \(x_{i+1}\) 为切线与 \(x\) 轴的交点，所以令 \(y=0\)，可得：

\[x_{i+1} = (x_i + n / x_i) / 2 \]

现在，我们就可以根据迭代式编写代码了：

int sqrt(int x)
{
    // 避免除零错误，单独处理 x = 0 的情况
    if (x == 0)
        return x;
    int t = x / 2 + 1;
    while (t > x / t)
        t = (t + x / t) / 2;
    return t;
}

为了确保算法是正确的，我们还需要一些额外的证明。首先，证明迭代式是单调递减的：

\[x_{i+1} - x_i = \left\lfloor \frac{1}{2} (x_i + \frac{n}{x_i}) \right\rfloor - x_i = \left\lfloor \frac{1}{2} (\frac{n}{x_i} - x_i) \right\rfloor \]

可知，在区间 \([\sqrt{x}, +\infty)\) 上，\(x_{i+1} - x_i < 0\)。

然后，我们还要证明迭代式是可以收敛到 \(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\) 的：

\[x_{i+1} = \left\lfloor \frac{1}{2} \left( x_i + \left\lfloor \frac{n}{x_i} \right\rfloor \right) \right\rfloor = \left \lfloor \frac{1}{2} (x_i + \frac{n}{x_i}) \right \rfloor \geq \left \lfloor \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{x_i \cdot \frac{n}{x_i}} \right \rfloor = \lfloor \sqrt{n} \rfloor \]

因此，当 while 循环结束时，我们可以得到正确的答案。

关于牛顿法求 sqrt(x) 的时间复杂度，笔者目前也没有搞清楚，有了解的童鞋欢迎交流~。不过通过查询资料，以及实际测试，可知牛顿法的时间效率优于二分搜索法。