二分求幂算法：快速的求幂计算方式

二分求幂法是快速计算形如 \(a^b\) 的求幂运算的方法。朴素计算 \(a^b\) 的方式是将 \(a\) 连乘 \(b\) 次，代码如下：

int result = 1;
for (int i = 0; i != b; i++)
    result *= a;

这需要计算 \(b\) 次，而实际真的需要运算这么多次吗？答案是不需要，利用二分求幂法，我们可以使运算次数大大小于 \(b\) 次。那么什么是二分求幂法呢？我们先考虑一个具体的计算：\(a^{32} = \; ?\)。

首先，我们需要想到：\(a^{32} = a^{16} \times a^{16}\)。这说明当我们计算出 \(a^{16}\) 的值后，再去计算 \(a^{32}\) 的值并不需要再连乘 \(a\) 十六次，我们只需要自乘一次 \(a^{16}\) 即可，这便大大降低了运算步骤。

如果我们想到了 \(a^{32} = a^{16} \times a^{16}\)，那么我们也可以很自然的进一步想到 \(a^{16} = a^{8} \times a^{8}\)，这同样大大简化了计算 \(a^{16}\) 的步骤：当我们得到 \(a^8\) 的值时，只需再自乘一次 \(a^8\) 即可得到 \(a^{16}\) 的值，而无需连乘 8 次 \(a\)。继续这样推演下去，我们可以得到以下的式子：

\[\begin{align*} a^{32} &= a^{16} \times a^{16} \\[1ex] a^{16} &= a^{8} \times a^{8} \\[1ex] a^8 &= a^4 \times a^4 \\[1ex] a^4 &= a^2 \times a^2 \\[1ex] a^2 &= a \times a \\[1ex] a^1 &= a \end{align*} \]

我们可以发现，通过二分求幂的方法，仅需 6 次运算即可得到结果，而在朴素求幂的方法中足足需要 32 次！

但我们发现一个问题：32 刚好是 2 的 5 次方，所以 32 可以一直被二分到 1 为止，如果失去这种特殊性，我们还可以使用二分求幂吗？答案也是可以的，以计算 \(a^{31}\) 为例：

\[\begin{align*} a^{31} &= a^{16} \times a^{15} \\[1ex] &= a^{16} \times a^8 \times a^7 \\[1ex] &= a^{16} \times a^8 \times a^4 \times a^3 \\[1ex] &= a^{16} \times a^8 \times a^4 \times a^2 \times a^1 \end{align*} \]

当我们得到上面的拆分结果后，再计算 \(a^{31}\) 就轻松多了。当我们得到 \(a\) 的值时，自乘一次即可得到 \(a^2\)，再自乘一次即可得到 \(a^4\)，再自乘一次得到 \(a^8\)，再自乘一次得到 \(a^{16}\)，我们最后将这些中间结果乘到一起就计算出了 \(a^{31}\) 的值。利用二分求幂，计算出 \(a^{31}\) 仅需要 5 次运算，而朴素求幂足足需要 31 次！

现在我们已经充分认识到了二分求幂法的威力，但想要完全掌握这一方法，我们还需要攻克一个核心问题——如何正确的分解指数，使其可以满足二分求幂的运算过程（如上述对 \(a^{31}\) 的分解）。对于一般化的 \(a^b\)，我们可以这样考虑：

\[a^b = a^{b_1 + b_2 + b_3 + \cdots} = a^{b_1} \cdot a^{b_2} \cdot a^{b_3} \cdots \\[1ex] b_1 + b_2 + b_3 + \cdots = b \\[1ex] \lbrace b_1, b_2, b_3, \cdots \rbrace \subset \lbrace 1,2,4, 8, \cdots \rbrace = \lbrace 2^0, 2^1, 2^2, \cdots, 2^n \rbrace \]

显然，这样分解出来的指数 \(b_1, b_2, b_3, \cdots\) 满足二分求幂的运算过程。因为，在二分求幂过程中，从 \(a\) 开始不断自乘，我们可以得到：\(a^1, a^2, a^4, a^8， \cdots\)，所以，我们分解出来的 \(a^{b_1}, a^{b_2}, a^{b_3}, \cdots\) 必须属于自乘得到的序列，即指数 \(\lbrace b_1, b_2, b_3, \cdots \rbrace \subset \lbrace 1, 2, 4, 8, \cdots \rbrace\)，而 \(\lbrace 1, 2, 4, 8, \cdots \rbrace\) 又等于 \(\lbrace 2^0, 2^1, 2^3, 2^4, \cdots \rbrace\)，看到这里，我们只需要再迈出最后一步——联想到二进制，就可以完全掌握二分求幂法了。

对于任何一个指数 \(b\)，我们可以将其转化为二进制形式，这个二进制串中所有值为 1 的位置所代表的值，就是二分求幂法所需要的分解结果。现在用这样的视角再次回顾之前的 \(a^{31}\)，指数 \(31\) 的二进制形式为 \(11111\)，这个二进制串从低位到高位每一个 1 的值如下：

\[\begin{align*} 2^0 &= 1 \\[1ex] 2^1 &= 2 \\[1ex] 2^2 &= 4 \\[1ex] 2^3 &= 8 \\[1ex] 2^4 &= 16 \\[1ex] \end{align*} \]

我们可以发现，这些值正好是分解后的结果，即 \(a^{31} = a^{16} \times a^8 \times a^4 \times a^2 \times a^1\)，然后就可以轻松的利用二分求幂法快速计算出结果了。

再分析一个具体的例子：计算 \(a^{177}\) 的值。指数 \(177\) 的二进制形式是 \(10110001\)，所有值为 1 的位置代表的值分别是：

\[\begin{align*} 2^0 &= 1 \\[1ex] 2^4 &= 16 \\[1ex] 2^5 &= 32 \\[1ex] 2^7 &= 128 \end{align*} \]

从而可以将 \(a^{177}\) 分解为 \(a^{128} \cdot a^{32} \cdot a^{16} \cdot a^1\)，然后利用二分求幂，从 \(a\) 开始，自乘一次得到 \(a^2\)，再自乘一次得到 \(a^4\)，以此类推，直到得到 \(a^{128}\)。这些中间结果中，对我们有用的是 \(a, a^{16}, a^{32}, a^{128}\)，我们把它们乘到一起，就计算出了 \(a^{177}\) 的值。从程序运行的角度来看，利用二分求幂，得到这个结果需要循环 8 次，而如果要在朴素求幂算法中得到这一结果，则需要运行 177 次！显然，要计算的幂指数越大，二分求幂的优势也就愈加明显。

最后简单地用程序语言表达如何计算 \(a^b\)：

int fun(int a, int b) {
    int result = 1;
    while (b) {
        if (b % 2 == 1)
            result *= a;
        a *= a;
        b /= 2;
    }
    return result;
}

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参考资料：

1. 王道论坛编组.王道论坛计算机考研机试指南[M]. :, 2013. 101-105.