费马小定理求逆元模板题
problem Description
度熊手上有一本字段存储了大量的单词,有一次,他把所有单词组成了一个很长很长的字符串。现在麻烦来了,他忘记了原来的字符串是什么,神奇的是他竟然记得原来那些字符串的哈希值。一个字符串的哈希值,由以下公式计算得到:
\(H(s)=\prod_{i=1}^{i\leq len(s)}(s_{i}-28)(mod 9973)\)
\(S_{i}\)代表S[i]字符的ASCII码。
请版主度熊计算大字符串中任意一段的哈希值是多少。
Input
多组测试数据,每组测试数据第一行是一个正整数N,代表询问的次数,第二行一个字符串,代表题目中的大字符串,接下来N行,每行包含两个正整数a和b,代表询问的起始位置以及终止位置。
\(1\leq N\leq 1,000\)
\(1\leq len(string) \leq 100,000\)
\(1\leq a,b\leq len(string)\)
Output
对于每一个询问,输出一个整数值,代表大字符串从 a 位到 b 位的子串的哈希值。
Sample Input
2
ACMlove2015
1 11
8 10
1
testMessage
1 1
Sample Output
6891
9240
88
题解
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MOD 9973 //要%的数
int inv[10000];//存放逆元的数组
int pre[100005];//存放前缀积
char s[100005];//存放字符串
//快速幂,因为费马小定理要求一个数的(mod-2)次方
//a存放底数,b存放幂指数
int quickPow(int a,int b){
int r=1;//存放答案
//不断迭代
while(b){
//判断b是不是奇数
if(b&1){
//b如果是奇数,将结果乘一个底数,同时结果模一下,防止数据过大
r=r*a%MOD;
}
b>>=1;//b右移一位,相当于除以2
a=a*a%MOD;//底数增大一倍
}
return r;
}
int main(){
int N,i,j,k;
inv[1]=1;//1对mod的逆元为1
//计算从2到mod的数对mod的逆元
for(int i=2;i<=9972;++i){
inv[i]=quickPow(i,MOD-2);
}
while(scanf("%d",&N)==1){
pre[0]=1;
scanf("%s",s+1);
int n=strlen(s+1);
//计算前缀积
for(int i=1;i<=n;++i){
pre[i]=pre[i-1]*(s[i]-28)%MOD;
}
while(N--){
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%d\n",pre[b]*inv[pre[a-1]]%MOD);
}
}
return 0;
}
思路
这道题就是求任意区间的前缀积,因为是任意区间,所以采取的计算结果的方案是这样的:
假如让求a到b的前缀积,我们就用从1到b的前缀积除以从1到a-1的前缀积,这样就得到了a到b的前缀积,问题是一个除法的模运算很麻烦,模运算是不能加到括号里的,但是如果变成乘法运算,那就可以把模运算加到括号里了,这时候就要用到逆元了,这里用的是用费马小定理来求的逆元,如果要求a对mod的逆元,那就等于\(a^{mod-2}\) ,这时候就涉及到求一个数的次方了,如果次方小还可以,但是次方太大的话,就会超时,这时,还会用到快速幂,这样就能完美求出逆元了。