Infinite String Comparision

题目描述

For a string $x$ ,Bobo define $x^{\infty}$ =xxx,,,which is x repeats for infinite times ,resulting in a string of infinite length. Bobo has two strings a and b. Find out the result comparing $a^{\infty}$ and $b^{\infty}$ in lexicographical order. You can refer the wiki page further information of Lexicographical Order.

输入描述

The input consist of several test cases terminated by end - of - file .

The first line of each test cases contains a string a,and the second line contains a string b

• 1≤|a|, |b|≤$10^{5}$
• a, b consists of lower case letters
• The total length of input strings does not exceed 2 x $10^{6}$

输出描述

For each test cases , print "=" ,if $a^{\infty}$ = $b^{\infty}$ , otherwise, print "<",if $a^{\infty}$ < $b^{\infty}$ ,or ">",if $a^{\infty}$ > $b^{\infty}$

示例一

输入

aa

b

zzz

zz

aba

abaa

输出

<
=
>

题解

#include <cstdio>
#include <cstring>

static const int N = 100000;

//求最大公约数 
template <typename T> 
T gcd(T a, T b){ 
	return b ? gcd(b, a % b) : a; 
}
int main() {
	//存放两个字符串 
 	static char a[N + 1], b[N + 1];
 	//读到EOF为止 
  	while (scanf("%s%s", a, b) == 2) {
  	 	//取出两个串的长度 
	    int alen = strlen(a);
	    int blen = strlen(b);
	    //如果超出maxlen还相等，那么这两个字符串相等 
	    int maxlen = alen + blen - gcd(alen, blen);
	    char result = '=';
	    //开始遍历，只要出现字符不相等的情况，就跳出，并输出大于小于号 
	    for (int i = 0; i < maxlen && result == '='; ++i) {
	      char ai = a[i % alen];
	      char bi = b[i % blen];
	      if (ai != bi) {
	        result = ai < bi ? '<' : '>';
	      }
    }
    //输出结果 
    printf("%c\n", result);
  }
}
 

思路：

关于周期性引理，定理内容：

假设一个字符串$S$有循环节$P$和$q$并且满足$p+q≤|S|+gcd(p,q)$，那么$gcd(p,q)$也是一个循环节。

在本题中，只有当$a^{\infty}$ = $b^{\infty}$ 时，才用得到这个周期引理，比如说，第一个字符串为ab，第二个字符串为abab，这样$a^{\infty}$ 就等于$b^{\infty}$了，这时候，公式中的字符串S就是$a^{\infty}$ 或$b^{\infty}$ ，事实上，此时$a^{\infty}$和$b^{\infty}$这两个字符串本身就完全一样，就是同一个字符串。这时候，ab长度为2，2是字符串S的一个循环节，abab长度为4，4也是字符串S的一个循环节，我们假设p=2，q=4.因为在题意中，字符串是无限接合在一起的，所以字符串的长度是无穷，所以|S|是无穷，所以任何情况下，不论p、q为多少，$|S|≥p+q-gcd(p,q)$ 都是成立的，如果这个条件成立，也就是说gcd(p,q)此时就是一个循环节，那么我们还知道，在一个字符串中，一定存在最小循环节，比最小循环节大的循环节一定是最小循环节的倍数。那么此时，p是循环节，q是循环节，gcd(p,q)也是循环节，因为他们都是最小循环节的倍数，所以他们运算的结果也是最小循环节的倍数，也就是说，p+q-gcd(p,q)也是一个循环节，所以当比较字符串比较了p+q-gcd(p,q)次时，还没有出现不相同的字符，那就不用再比较了，因为再比较也是一样的结果，只会再循环一次前面的字符，所以此时我们就可以判断两个字符串是相等的了。

当$a^{\infty}$ 不等于$b^{\infty}$ 的时候，就用不到这个周期引理，比如说，第一个字符为aba，长度为3，设p为3，第二个字符为ab，长度为2，设q为2，因为$a^{\infty}$ 根本就不等于$b^{\infty}$ 所以，p和q也没办法是字符串S的循环节，这时的字符串S也不是唯一确定的，只能说p是第一个字符串的循环节，q是第二个字符串的循环节，但他们并没有什么关系，所以这时候用不到周期性引理。但是，我们还是要看一下p+q-gcd(p,q)在$a^{\infty}$和$b^{\infty}$ 不相等的情况下有没有什么意义，经过多次测试，我发现，p+q-gcd(p,q)的结果总是等于p和q中较小的数的倍数，并且一定大于p和q中较大的数。这个证明我不会证，不过试了很多次这句话都成立，我觉得应该是有这么回事的。这里我们设p+q-gcd(p,q)的结果为W，p和q中较小的数是p，较大的数是q，那么W是p的倍数，在我们这个题里边，不就是相当于a字符串的很多次方后的长度是W吗（这里，p代表a的长度），而这个W大于q，也就是大于b字符串的长度，那么如果两个字符串不相等，一定会在比较W次之前就出现不相同的字符，如果两个字符串相同，在比较W次之前，也不会出现不同的字符（当然，W次之后也不会出现不同的字符），这样，还与$a^{\infty}$和$b^{\infty}$ 相等时的情况相呼应了。

这样的话，我们只要比较p+q-gcd(p,q)次就行了，这样就能判断两个字符串是不是相等。经历过这道题，我们就可以直接得出结论：如果有两个字符串a和b，他们的长度分别为p和q，那么只要比较p+q-gcd(p,q)次，就可以得知$a^{\infty}$ 和$b^{\infty}$ 的字典序顺序。