powerful number 小记

想学 powerful number 请直接去阅读 zzq 的博客，这篇只是用来水。

---

简介

利用 Powerful Number 可以求部分积性函数 \(F(x)\) 的前缀和。

我们可以构造一个积性函数 \(G(x)\)，使得 \(x\) 为质数时 \(G(x)=F(x)\)，并且 \(G(x)\) 的前缀和可以快速计算。

设有积性函数 \(H(x)\) 使得 \(F=G * H\)，即 \(H=F/G\)。则有

\[\sum_{i=1}^n F(i)=\sum_{ij \leq n} H(i)G(j)=\sum_{i=1}^n H(i) \sum_{j=1}^{n/i} G(j) \]

可以发现，\(x\) 为质数时 \(H(x)=0\)，由此可以得到 \(H(x)\neq 0\) 的位置，\(x\) 所有质因子的次数一定 \(\ge 2\)，我们将这样的数称为 powerful number。

可以证明这样的数不超过 \(\sqrt n\) 个，故可以直接爆搜这样的数。

求 \(H(p^e)\) 的点值可以安排类似多项式求逆的东西，\(F(p^e),G(p^e)\) 的点值通常可以 \(O(1)/O(e)\) 得到。

模板/代码

void dfs(int u, ll x, ll w)
{
	if(!w) return ;
	ans+=w*sumG(n/x);
	for(int i=u;i<=tot&&x<=n/pri[i]/pri[i];++i)
	{
		if(h[i].size()==1) h[i].push_back(0);
		ll y=pri[i];
		for(int e=2;x*y<=n/pri[i];++e)
		{
			y*=pri[i];
			if(h[i].size()==e)
			{
				ll f=F(pri[i],e),g=G(pri[i],1);
				for(int j=1;j<=e;++j) f-=g*h[i][e-j],g=G(pri[i],j+1);
				h[i].push_back(f);
			}
			dfs(i+1,x*y,w*h[i][e]);
		}
	}
}

代码中：

• \(\texttt{F(x,e)}\) 为 \(F(x^e)\)
• \(\texttt{G(x,e)}\) 为 \(G(x^e)\)
• \(\texttt{sumG(x)}\) 为 \(\sum_{i=1}^x G(i)\)