Codeforces Round #554 (Div. 2) 选做
C. Neko does Maths
题意
给 \(a,b\) ,求一个最小的 \(k\) 使得 \(\text{lcm}(a+k,b+k)\) 最小。
\(a,b\le 10^9\)
题解
\(\gcd (a+k,b+k) = \gcd(b-a,a+k)\) 。
只需枚举 \(b-a\) 的因数作为 \(\gcd\) ,容易算出最小的 \(k\) ,然后更新答案即可。
code
#include<cstdio>
long long mn=1ll<<60;
int a,b,k;
inline int gcd(int x, int y) {
return y?gcd(y,x%y):x;
}
void solve(int x)
{
int y=((a-1)/x+1)*x-a;
long long tmp=1ll*(a+y)*(b+y)/gcd(a+y,b+y);
if(tmp<mn) mn=tmp,k=y;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&a,&b);
if(a>b) a^=b^=a^=b;
const int c=b-a;
for(int i=1;i*i<=c;++i)
if(c%i==0)
{
solve(i);
if(i*i!=c) solve(c/i);
}
printf("%d",k);
}
D. Neko and Aki's Prank
题意
给 \(n\) ,将长度为 \(2n\) 的合法括号序列放到 \(\text{trie}\) 里,求 \(\text{trie}\) 树的最大匹配,对 \(10^9+7\) 取模。
\(n\le 1000\)
题解
可以考虑直接 dp 最大匹配,但这样会涉及取 \(\max\) 操作,显然是不行的。
我们考虑贪心匹配,每次把第 \(2n-1\) 层的点全部向第 \(2n\) 点匹配,然后第 \(2n-3\) 层的点全部向第 \(2n-2\) 层的点匹配。以此类推。这样答案就为深度为奇数的点的个数。
设 \(f[i][j]\) 为深度为 \(i\) ,有 \(j\) 个左括号的点的个数。注意右括号个数始终不能超过左括号个数,左括号个数不能 \(>n\) 。转移显然。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2005,Mod=1e9+7;
int f[N][N];
int main()
{
int n,ans=0;
scanf("%d",&n),n<<=1;
f[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=0;j<=i;++j) // ( : j
{
if(j>n/2) continue;
int k=i-j; // ) : k
if(j>=1&&j-1>=k) f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j-1])%Mod;
if(k>=1&&j>k-1) f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j])%Mod;
ans=(ans+(i%2==1)*f[i][j])%Mod;
}
printf("%d",ans);
}