回溯法
1 解题要点
回溯法是利用递归来求解便利一棵多叉树,其本质是深度优先搜索,通常求解的答案为树的所有叶子结点,但我们需要根据题目的要求边剪枝边遍历。
1.1 何时用回溯法求解问题
当题目中要求所有解,并且问题规模N不是很大,可以考虑使用回溯法。
1.2 常规解题步骤
以permutation为例题,说明如何使用回溯法。
- 画递归树
根据题目中所给数据,依次放入一个元素进入向量中,如果达到所求的叶子,则将整个向量存入结果中。 - 寻找剪枝条件
一般剪枝条件具有具体的含义,需要仔细分析,或者专门写函数实现,常见条件如:
- 通过设置访问标志位来判断元素是否在本次“深入探索过程”中访问过,参见经典例题permutations II中的用法
- 每次所放入元素不能和已经放入的重复permutation
- 从当前位置之后选择元素放入combination sum II
- 放入元素与之前放入元素要满足一定条件N-quees与palindrome patition
- 寻找求解结点
大部分题目求解的是叶子结点,所以我们一般在dfs进入后,先判断是否达到叶子结点,若达到就保存后退出。但也有一些题目需要求解每个结点,如subsets,这时候需进入dfs后直接保存结果状态。
2 解题模板
void dfs(vector<vector<int>> &result, vector<int> &res, vector<int> &nums) {
//如果是叶子,则存入结果
if (res.size() == nums.size()) {
result.push_back(res);
return;
}
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
//剪枝条件,选择之前没有加入的元素
if (find(res.begin(), res.end(), nums[i]) == res.end()) {
res.push_back(nums[i]);
dfs(result, res, nums);
res.pop_back(); //回溯法的关键:回退
}
}
}
vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
//设置保存结果的容器
vector<vector<int>> result;
vector<int> res; //保存每个叶子结点
//有时候需要把遍历到哪个元素的位置pos加入形参
dfs(result, res, nums);
return result;
}
3 经典题目
有的时候剪枝条件并不容易想,目前我遇到的题目剪枝方法包括:
- 已加入本次结果的元素不再加入
if (find(res.begin(), res.end(), nums[i]) == res.end()) {
xxx
}
- 使用pos游标来取消之前元素的访问combination sum II,传参的时候需要加上游标pos,循环初始化时i = pos
for (int i = pos; i < nums.size(); i++) {
}
- 使用标志位来防止重复元素的访问,比如给一定一个向量(permutationsII)或字符串(string_permutations),要求所有排列。
这时传参时需要带上标志位visited,是否引用都可以,不过引用可以减小传参开销
void dfs(vector<int> nums, vector<bool> &visited, vector<int> &res, vector<vector<int>> &result);
以下代码通过使用标志标志位来对重复元素进行访问
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
// 通过以下判断来剪枝, nums此是已经被排序过了
// case1: 当前位置元素访问过
// case2: 当前位置元素与上个元素相同,如果上个元素没有访问过,那这个元素也没访问
// 这样通过将强制规定相同元素的访问顺序,来排除了一些重复的解
//注意,|| 的结合优先级小于&& !
if (visited[i] || i != 0 && !visited[i-1] && nums[i] == nums[i-1]) {
continue;
}
visited[i] = true;
res.push_back(nums[i]);
dfs(nums, visited, res, result);
res.pop_back();
visited[i] = false;
}