牛客网——整数拆分

题目描述：

一个整数总可以拆分为2的幂的和，例如： 7=1+2+4 7=1+2+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+1+1+1 总共有六种不同的拆分方式。 再比如：4可以拆分成：4 = 4，4 = 1 + 1 + 1 + 1，4 = 2 + 2，4=1+1+2。 用f(n)表示n的不同拆分的种数，例如f(7)=6. 要求编写程序，读入n(不超过1000000)，输出f(n)%1000000000。

输入描述:
每组输入包括一个整数：N(1<=N<=1000000)。
输出描述:
对于每组数据，输出f(n)%1000000000。
输入
7
输出
6

解题思路（摘）：

记f(n)为n的划分数，我们有递推公式：

f(2m + 1) = f(2m)
f(2m) = f(2m - 1) + f(m)

初始条件：f(1) = 1。

 证明:

 证明的要点是考虑划分中是否有1。

 

记:

A(n) = n的所有划分组成的集合，

B(n) = n的所有含有1的划分组成的集合，

C(n) = n的所有不含1的划分组成的集合，

则有: A(n) = B(n)∪C(n)。

 

又记:

f(n) = A(n)中元素的个数，

g(n) = B(n)中元素的个数，

h(n) = C(n)中元素的个数，

易知: f(n) = g(n) + h(n)。

 

 

我们先来证明: f(2m + 1) = f(2m)，

　　首先，2m + 1 的每个划分中至少有一个1，去掉这个1，就得到 2m 的一个划分，故 f(2m + 1)≤f(2m)。

　　其次，2m 的每个划分加上个1，就构成了 2m + 1 的一个划分，故 f(2m)≤f(2m + 1)。

综上，f(2m + 1) = f(2m)。

 

接着我们要证明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，

　　把 B(2m) 中的划分中的1去掉一个，就得到 A(2m - 1) 中的一个划分，故 g(2m)≤f(2m - 1)。

　　把 A(2m - 1) 中的划分加上一个1，就得到 B(2m) 中的一个划分，故 f(2m - 1)≤g(2m)。

综上，g(2m) = f(2m - 1)。

 

　　把 C(2m) 中的划分的元素都除以2，就得到 A(m) 中的一个划分，故 h(2m)≤f(m)。

　　把 A(m) 中的划分的元素都乘2，就得到 C(2m) 中的一个划分，故 f(m)≤h(2m)。

综上，h(2m) = f(m)。

 

  所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。                                            

代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string>
#include <math.h>
using namespace std;

long ans[1000001];
//N表示ans计算到哪个数字
int N;

/*
f(2m + 1) = f(2m)，
f(2m) = f(2m - 1) + f(m)
*/
void caculate(int n, int N)
{
    for(int i=N+1; i<=n; i++){
        if(i%2 == 1){
            ans[i] = ans[i-1];
        }
        else{
            int k = i / 2;
            ans[i] = ans[i-1] + ans[k];
        }
        ans[i] = ans[i] % 1000000000;
    }
}

int main()
{
    int n;
    //初始化
    ans[0] = 0;
    ans[1] = 1;
    N = 1;
    while (cin >> n){
        if(N >= n){
            cout << ans[n] << endl;
            continue;
        }
        caculate(n,N);
        cout << ans[n] << endl;
        N = n;
    }
    return 0;
}