ch06_量化调仓策略

一、如何衡量投资组合的收益率

1.1 投资组合收益率的计算方法

投资组合的收益率是指投资组合在一定时间内的总体收益率。投资组合的收益率可以通过加权平均每个资产的收益率来计算。具体地，假设投资组合中有n个资产，每个资产的收益率为r1, r2, ..., rn，每个资产的权重为w1, w2, ..., wn，则投资组合的收益率为：
$$ 投资组合的收益率 = w_1 \times r_1 + w_2 \times r_2 + ... + w_n \times r_n $$
其中，权重wi表示资产i在投资组合中的占比，满足w1 + w2 + ... + wn = 1。投资组合的收益率是衡量投资组合表现的重要指标，它可以帮助投资者评估投资组合的回报水平，并与市场指数或其他投资组合进行比较。

1.2 投资组合的绝对收益率和相对收益率

投资组合的收益率不仅取决于投资组合本身的表现，还取决于市场的整体表现。因此，在比较投资组合的收益率时，需要将其与市场平均收益进行比较，以便更好地评估投资组合的表现。因此，衡量投资组合的收益率通常使用两种指标：绝对收益率和相对收益率。

1. 绝对收益率是指投资组合的实际收益与初始投资金额之间的比率。计算公式如下：
   $$绝对收益率 = \frac{投资组合的实际收益 - 初始投资金额}{初始投资金额} \times 100% $$

   例如，如果你的投资组合初始投资金额为 10000 元，最终实现的收益为 12000 元，则绝对收益率为 (12000 - 10000) / 10000 = 0.2，即 20%。

2. 相对收益率是指投资组合的实际收益与市场平均收益之间的比率。计算公式如下：
   $$相对收益率 = \frac{投资组合的实际收益 - 市场平均收益}{市场平均收益} \times 100% $$
   例如，如果你的投资组合实现的收益为 12000 元，而市场平均收益为 10000 元，则相对收益率为 (12000 - 10000) / 10000 = 0.2，即 20%。

二、如何衡量投资组合的风险

2.1 风险的定义

风险是指在未来可能发生的不确定性事件所带来的潜在损失。
在投资领域中，风险通常指投资所面临的不确定性和潜在的损失。投资的风险通常由多种因素决定，包括市场波动、政治和经济环境、行业和公司的基本面等。投资的风险越高，意味着投资者可能面临更大的损失，但同时也可能获得更高的回报。

2.2 投资组合的风险

投资组合的风险是指投资组合在未来可能出现的损失或波动的程度。投资组合的风险通常由其波动性、损失概率和损失幅度等因素来衡量。投资组合的风险越高，意味着投资者可能面临更大的损失，但同时也可能获得更高的回报。因此，在进行投资决策时，需要综合考虑投资组合的风险和预期回报，以便做出更加明智的决策。

2.3 衡量投资组合的风险

投资组合的风险可以通过多种方式进行衡量，以下是一些常见的方法：

1. 方差和标准差：方差和标准差是衡量投资组合波动性的常用指标。方差是每个资产收益率与平均收益率之差的平方的平均值，标准差是方差的平方根。
   方差和标准差越大，表示数据分布越分散，反之则表示数据分布越集中。
   在投资领域中，方差和标准差通常用于衡量资产或投资组合的波动性，即风险。
   方差和标准差的计算公式如下：

   方差：$\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2$

   标准差：$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}$

   其中，$x_i$表示第i个数据点，$\mu$表示所有数据点的平均值，$n$表示数据点的数量。

2. Beta系数：Beta系数是衡量投资组合相对于市场整体波动的指标，用投资组合与市场组合的协方差与市场组合的方差的比值计算。
   $$
   \beta_{i}=\frac{\operatorname{Cov}\left(r_{i}, r_{m}\right)}{\operatorname{Var}\left(r_{m}\right)}
   $$
   Beta系数为1表示投资组合的波动与市场整体波动相同，小于1表示波动小于市场整体波动，大于1表示波动大于市场整体波动。
   Beta系数的计算方法是将资产或投资组合的收益率与市场指数的收益率进行回归分析，得到回归系数即为Beta系数。Beta系数越高，表示资产或投资组合的风险越高，但同时也可能获得更高的回报。Beta系数的计算可以使用统计软件或在线工具进行。

3. Value at Risk（VaR）：VaR是衡量投资组合在一定置信水平下的最大可能损失的指标。

   令$\alpha \in(0,1)$ 而$F_{L}$为事件$L$的分布函数，则VaR如下
   $$
   \operatorname{VaR}{\alpha}(L)==\inf \left{y \in \mathbb{R} \mid F(y) \geq \alpha\right}
   $$
   即VaR是满足使损失不超过y的概率大于等于$\alpha$的最小的y值.

   例如，一个10%的VaR表示在90%的时间内，投资组合的损失不会超过VaR的值。VaR通常用于衡量投资组合的风险水平，以便投资者能够更好地控制风险。
   VaR的计算方法有多种，其中最常用的是历史模拟法、蒙特卡罗模拟法和正态分布法。历史模拟法是基于历史数据进行模拟，蒙特卡罗模拟法是基于随机模拟进行模拟，正态分布法是基于正态分布进行模拟。
   VaR的计算方法和置信水平的选择会影响到VaR的准确性和可靠性，因此需要根据具体情况进行选择。

4. Conditional Value at Risk（CVaR）[^1]：CVaR是VaR的扩展，它衡量的是在VaR损失超过一定阈值时的平均损失。

   即在一定的置信水平1-α上，测算出损失超过VaR值的条件期望值
   $$
   \operatorname{CVaR}{1-\alpha}=-\frac{\int^{1-\alpha} \operatorname{VaR}_{\alpha}(L) d r}{1-\alpha}
   $$
   CVaR模型在一定程度上克服了VaR模型的缺点不仅考虑了超过VaR值的频率，而且考虑了超过VaR值损失的条件期望，有效的改善了VaR模型在处理损失分布的后尾现象时存在的问题，通常也被认为比VaR更加保守。

三、最优化方法计算投资组合的最佳仓位

我们将详细介绍各类优化方法，在此之前，首先我们先对常用的数学符号进行约定，如下表所示。
$$
\begin{array}{cc}N & \text { 组合内证券数量 } \ \omega & \text { 权重向量 }(\mathbb{N} \times 1) \ \omega_{\mathrm{i}} & \text { 证券 } \mathrm{i} \text { 的权重 } \ \mu & \text { 预期收益率向量 }(\mathbb{N} \times 1) \ \sigma & \text { 证券波动率向量 }(\mathbb{N} \times 1) \ \sigma_{\mathrm{i}} & \text { 证券 } \mathrm{i} \text { 的波动率 } \ \sigma_{i j} & \text { 证券 } \mathrm{i} \text { 和证券 } \mathrm{i} \text { 之间的协方差 } \ \Sigma & \text { 方差协方差矩阵 }(\mathbb{N} \times \mathbb{N}) \ \sigma_{\mathrm{p}} & \text { 组合波动率 } \ \mu_{\mathrm{p}} & \text { 组合收益率 } \ \lambda & \text { 风险厌恶系数 } \ \mathrm{r}_{f} & \text { 无风险收益率 }\end{array}
$$

3.1 等权重

那么在没有任何信息或者偏好时，等权重是最简单的办法，即赋予组合中每个证券相同的权重，意味着我们视每个证券具有同等的重要性。
$$
\omega_{i}=\frac{1}{N}
$$
值得一提的是，虽然等权重看起来非常简单，不需要复杂的数学求解，但是等权重组合的业绩表现往往是非常抢眼的，因此在研究中常被用来作为比较基准。

3.2 市值加权

对于股票组合而言，在没有任何信息或者偏好时，还有另外一种使用非常普遍的组合方法，即市值加权。通常地，小市值的股票收益率的日波动是大于大市值股票的，因为小市值股票和大市值股票能承载的资金量是不同的，令小市值股票涨/跌1%需要的资金可能远小于大市值的股票。而如果我们希望在组合内各个股票平等的分配资金，由于大小市值这种属性，等权重组合可能需要非常频繁调仓。而市值加权，根据定义，对于选出的股票，按照其市值加权，即
$$
\omega_{i}=C a p_{i} / \sum_{i} C a p_{i} \
C a p_{i} 为股票 i 的市值
$$
市值加权不需要频繁调仓，往往流动性也最强；不过，市值加权会给与高估值股票过多权重，给与低估值股票过少权重，因此结果在一些结构性行情下可能并不占优。

3.3 最小方差组合

Minimum Variance。前文两种组合方法，都是在没有任何信息或者偏好时可以使用的。然而，在实际投资过程中，每个投资者都暴露在海量的信息中，同时每个投资者的风险偏好也是不同的。对于风险厌恶的投资者，自然是希望投资者的风险是最小的。由于总体的风险是未知的，在组合优化中，我们常常用历史收益率的方差最为代理变量，追求组合整体的方差最小，数学表达为，
$$
\operatorname{Min} \ \sigma_{\mathrm{p}}=\omega^{\prime} \Sigma \omega \
\Rightarrow \ \omega \propto \Sigma ^{-1} \mathbf{1}
$$

3.4 最大分散度

Maximum Diversification。从组合的方差-协方差矩阵我们可知，组合的整体风险一部分来源于各个证券自身的方差，另一部分来源于证券之间的协方差。因此，如果我们想降低组合风险，就应该尽量分散投资。在2008年，Choueifaty和Coignard于是提出了最大分散度优化，该方法的数学表达为，
$$
\operatorname{Max} \quad D(w)=\frac{\omega^{\prime} \sigma}{\sqrt{\omega^{\prime} \Sigma \omega}} \
\Rightarrow \ \omega \propto \Sigma^{-1} \sigma
$$
目标函数被称为分散比率，分母为组合波动率，分子为成分的波动率加权平均。该方法最大化资产线性加权波动率与投资组合波动率的比值，故称为最大分散化资产配置组合。

3.5 风险平价

风险平价（Risk Parity）从风险的角度进行均衡配置，以追求所有证券对组合的风险贡献相同。首先定义所谓的边际风险贡献，即每增加1单位证券$i$的权重$ \omega_{i} $所引起的组合整体风险的变化，
$$
\begin{aligned} M R C_{i}=\frac{\partial \sigma_{p}}{\partial \omega_{i}} & =\frac{\omega_{i} \sigma_{i}^{2}+\sum_{j \neq i} \omega_{j} \rho_{i j} \sigma_{i} \sigma_{j}}{\sigma_{p}} \ & =\frac{\sum_{j=1}^{N} \omega_{j} \rho_{i j} \sigma_{i} \sigma_{j}}{\sigma_{p}} \ & =\frac{\rho_{i p} \sigma_{i} \sigma_{p}}{\sigma_{p}} \ & =\left(\frac{\rho_{i p} \sigma_{i}}{\sigma_{p}}\right) \sigma_{p} \ & =\beta_{i} \sigma_{p}\end{aligned}
$$
其中$\beta_{i}$表示证券$i$收益率相对于投资组合收益率的$\beta$系数；
定义了证券的边际风险贡献后，乘以其权重我们既可以得到风险贡献，
$$
\mathrm{RC}{\mathrm{i}}=\omega{\mathrm{i}} \times M R C_{i}=\omega_{\mathrm{i}} \frac{\partial \sigma_{\mathrm{p}}}{\partial \omega_{i}}
$$
由 Risk Parity 的定义有，
$$
\mathrm{RC}{\mathrm{i}}=\mathrm{RC}{\mathrm{j}} \
\Rightarrow \omega_{i} \frac{\partial \sigma_{p}}{\partial \omega_{i}}=\omega_{j} \frac{\partial \sigma_{p}}{\partial \omega_{j}}, \quad \forall i, j \
$$
因此，风险平价组合的目标函数为，
$$
\operatorname{Min} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N}\left(R C_{i}-R C_{j}\right)^{2} \
\Rightarrow \quad \omega_{i} \propto \frac{1}{\beta_{i}}
$$
在 Risk Parity投资组合中，证券的权重和它相对于组合的 β 成反比；β 越高，其权重越低，从而有效的分散了风险，每个资产对组合的边际风险贡献相同。

3.6 均值方差优化

以上的介绍的最小方差、最大分散度、风险平价的优化方法，都还是集中在风险上。而我们常说，一个优秀的投资策略，往往是在给定风险水平下实现组合收益最大化，或者在给定收益水平实现组合风险最小化。稍微有一些金融相关背景的读者可能已经提前猜到了，最终我们绕不开的优化方法，也是组合优化问题中的老大哥，即Markowitz的均值方差优化。
其目标函数为，
$$
\operatorname{Max} \quad \omega^{\mathrm{T}} \mu-\frac{\lambda}{2} \omega^{\prime} \Sigma \omega
$$
理论上来讲，组合成分间存在无数个混搭方式，每种方式得到一个收益风险对，将所有结果集合在一起，就形成了可行域，如图所示。可行域中并不是所有点都是“好结果”，只有处于可行域上侧边缘的点才是最优值，即MVO的解，如图中A到D之间连线，这条线称为有效前沿。任何异于有效前沿的点，均能找到相同风险（收益）下收益（风险）更高（低）的组合。

图片来源：CQR
其中，图上的A点即前文讨论过的最小方差组合，位于有效前沿的最左端；而如果我们自无风险收益率起做一条射线，与有效前沿相切于B点，改点即为所有可行域中夏普比率最大的点，因此也被称为最大夏普组合。故也有另外一种常见的，最大化组合夏普比率，其目标函数为。
$$
\operatorname{Max} \frac{\omega^{\prime} \mu}{\sqrt{\omega^{\prime} \sum \omega}}
$$
相比于前文介绍的各个优化方法，均值方差优化引入了更多的参数。

在实践中，也面临着更多的问题。由于引入了更多的参数，尤其是对预期收益率的估计，会使得优化结果对参数的输入非常敏感，结果就是优化出的权重在时序上换手较快；容易输出极端大或极端小的权重，最终组合时常在个别证券上集中度过高；基于历史数据的均值方差组合，由于估计误差，在样本外甚至很难超越等权重组合。当然列举诸多问题，并非是说均值方差模型徒有虚名。恰恰相反，均值方差模型在组合优化领域是最常用也最经典的，正是因此，我们应该更深入的去了解经典模型背后的优劣，使其在投资实践中发挥最大的价值。事实上，针对这些问题后续的改进工作也一直没有停过，比较出名的例如Black-Litterman模型，又或是Bayes-Stein模型，由于篇幅所限，暂时就不在此提及，有兴趣的同学可以自行去深入了解一下。

3.7 常见约束

在实际投资中，往往除了最现实的资金限制外，还会有各种各样的限制。比较常见的限制有，
约束1：单资产权重的范围限制：
$$
\omega_{lb} \leq \omega \leq \omega_{ub}
$$
约束2：做空限制
在A股市场融券的成本较高，因此一般是默认存在做空限制
$$
\begin{array}{l}\omega^{T} \mathbf{1}=1 \ \omega \geq \mathbf{0}\end{array}
$$
另外，常见的量化策略例如指数增强和中性对冲，往往都有明确对标的基准指数，由此衍生出相对基准指数内的成分股的一些限制，
约束3：行业中性化
$$
\left(\omega-\omega_{\text {benchmark }}\right)^{T} I_{\text {industry } \in D}=\mathbf{0}
$$
其中，$\omega_{benchmark}$是基准指数内各成分股的权重向量，$I_{indusrty}$是代表行业的哑变量矩阵。
约束4：风险敞口限制
$$
\left|\left(\omega-\omega_{\text {benchmark }}\right)^{T}\right| f \leq f_{ub} \in[0,1]
$$
其中，$\omega_{benchmark}$是基准指数内各成分股的权重向量，$f$是风险因子暴露向量，$f_{ub}$是因子的风险敞口上限。