二进制、八进制和十六进制
二进制
用0、1两个数字来表示数值,这就是二进制(Binary)。对于二进制,进行加法运算时逢二进一,进行减法运算时借一当二。
1) 二进制加法:1+0=1、1+1=10、11+10=101、111+111=1110
二进制加法示意图
2) 二进制减法:1-0=1、10-1=1、101-11=10、1100-111=101
二进制减法示意图
八进制
八进制有 0~7 共8个数字,基数为8,加法运算时逢八进一,减法运算时借一当八。
1) 八进制加法:3+4=7、5+6=13、75+42=137、2427+567=3216
八进制加法示意图
2) 八进制减法:6-4=2、52-27=23、307-141=146、7430-1451=5757
八进制减法示意图
十六进制
十六进制加法示意图
2) 十六进制减法:D-3=A、52-2F=23、E07-141=CC6、7CA0-1CB1=5FEF
十六进制减法示意图
二进制、八进制、十六进制转换为十进制
二进制、八进制和十六进制向十进制转换就是“按权相加”。所谓“权”,也即“位权”。
假设当前数字是 N 进制,那么:
- 对于整数部分,从右往左看,第 i 位的位权等于Ni-1
- 对于小数部分,恰好相反,要从左往右看,第 j 位的位权为N-j。
八进制: 423.5176 = 4×82 + 2×81 + 3×80 + 5×8-1 + 1×8-2 + 7×8-3 + 6×8-4 = 275.65576171875(十进制) 二进制: 1010.1101 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 + 1×2-1 + 1×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 10.8125(十进制) 十六进制: EA7 = 14×162 + 10×161 + 7×160 = 3751(十进制)
十进制转换为二进制、八进制、十六进制
1) 整数部分
十进制整数转换为 N 进制整数采用“除 N 取余,逆序排列”法。具体做法是:
- 将 N 作为除数,用十进制整数除以 N,可以得到一个商和余数;
- 保留余数,用商继续除以 N,又得到一个新的商和余数;
- 仍然保留余数,用商继续除以 N,还会得到一个新的商和余数;
- ……
- 如此反复进行,每次都保留余数,用商接着除以 N,直到商为 0 时为止。
把先得到的余数作为 N 进制数的低位数字,后得到的余数作为 N 进制数的高位数字,依次排列起来,就得到了 N 进制数字。
下图演示了将十进制数字 36926 转换成八进制的过程:
从图中得知,十进制数字 36926 转换成八进制的结果为 110076。
下图演示了将十进制数字 42 转换成二进制的过程:
从图中得知,十进制数字 42 转换成二进制的结果为 101010。
2) 小数部分
十进制小数转换成 N 进制小数采用“乘 N 取整,顺序排列”法。具体做法是:
- 用 N 乘以十进制小数,可以得到一个积,这个积包含了整数部分和小数部分;
- 将积的整数部分取出,再用 N 乘以余下的小数部分,又得到一个新的积;
- 再将积的整数部分取出,继续用 N 乘以余下的小数部分;
- ……
- 如此反复进行,每次都取出整数部分,用 N 接着乘以小数部分,直到积中的小数部分为 0,或者达到所要求的精度为止。
把取出的整数部分按顺序排列起来,先取出的整数作为 N 进制小数的高位数字,后取出的整数作为低位数字,这样就得到了 N 进制小数。
下图演示了将十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数的过程:
从图中得知,十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数的结果为 0.7345。
下图演示了将十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的过程:
从图中得知,十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的结果为 0.1011。
下表列出了前 17 个十进制整数与二进制、八进制、十六进制的对应关系:
十进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
二进制 | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 |
八进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 20 |
十六进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 |
二进制和八进制、十六进制的转换
其实,任何进制之间的转换都可以使用上面讲到的方法,只不过有时比较麻烦,所以一般针对不同的进制采取不同的方法。将二进制转换为八进制和十六进制时就有非常简洁的方法,反之亦然。
1) 二进制整数和八进制整数之间的转换
二进制整数转换为八进制整数时,每三位二进制数字转换为一位八进制数字,运算的顺序是从低位向高位依次进行,高位不足三位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 1110111100 转换为八进制:
从图中可以看出,二进制整数 1110111100 转换为八进制的结果为 1674。
八进制整数转换为二进制整数时,思路是相反的,每一位八进制数字转换为三位二进制数字,运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将八进制整数 2743 转换为二进制:
从图中可以看出,八进制整数 2743 转换为二进制的结果为 10111100011。
2) 二进制整数和十六进制整数之间的转换
二进制整数转换为十六进制整数时,每四位二进制数字转换为一位十六进制数字,运算的顺序是从低位向高位依次进行,高位不足四位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制:
从图中可以看出,二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制的结果为 2D5C。
十六进制整数转换为二进制整数时,思路是相反的,每一位十六进制数字转换为四位二进制数字,运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将十六进制整数 A5D6 转换为二进制:
从图中可以看出,十六进制整数 A5D6 转换为二进制的结果为 1010 0101 1101 0110。