错排公式
错排问题
一个有n个元素的排列,若一个排列中所有元素都不在自己原来的位置上,那么这样的一个排列就被称为原排列的一个错排。
研究一个排列错排个数的问题,叫做错排问题或称为更列问题。
错排公式:D(n) = (n - 1) * (D[n-1] + D[n-2])
其中D(1) = 0, D(2) = 1
证明:(来源百度百科
当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示,那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.
第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;
第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况:⑴把它放到位置n,那么,对于剩下的n-1个元素,由于第k个元素放到了位置n,剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法;⑵第k个元素不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有D(n-1)种方法;
弱校题库题目递推题目系列之二认错人
//近似模板题,不多加解释了
#include <cstdio>
long long dp[25], c[25][25];
int main() {
dp[1] = 0; dp[2] = 1;
for(int i = 3; i < 22; i++) {
dp[i] = (i - 1) * (dp[i-1] + dp[i-2]);
}
for(int i = 1; i < 22; i++) {
c[i][i] = 1;
c[i][1] = i;
for(int j = 2; j < i; j++) {
c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];
}
}
int t;
scanf("%d", &t);
while(t--) {
int n, m;
scanf("%d %d", &n, &m);
printf("%lld\n", c[n][m] * dp[m]);
}
return 0;
}