【知识】Prüfer 编码

Prüfer 序列

Prufer 序列可以将一个带标号 \(n\) 个节点的树用 \([1, n]\) 中的 \(n-2\) 个整数表示，即 \(n\) 个点的完全图的生成树与长度为 \(n-2\)，值域为 \([1, n]\) 的数列构成的双射。

Prufer 序列可以方便地解决一类树相关的计数问题，比如 凯莱定理：\(n^{n-2}\) 个点的完全图的生成树有 \(n^{n-2}\) 个。

对树构造 Prüfer 序列

Prufer 是这样构造的：

每次选择一个编号最小的叶节点并删掉它，然后在序列中记录下它连接到的那个节点。

重复 \(n-2\) 次后就只剩下两个节点，算法结束。

• \(\mathcal{O}(n \log n)\) 显然，使用堆可以做到 \(\mathcal{O}(n \log n)\) 的复杂度。

• \(\mathcal{O}(n)\) 使用一个指针代替堆找最小值，可以做到 \(\mathcal{O}(n)\) 的复杂度。

具体而言，指针指向编号最小的叶节点。每次删掉它之后，如果产生了新的叶节点且编号比指针指向的更小，则直接继续删掉，否则自增找到下一个编号最小的叶节点。

Prufer 序列的性质

从上述构造 Prüfer 序列的过程可以看出 Prüfer 序列具有以下两个性质：

1. 在构造完 Prüfer 序列后，原树中会剩下两个节点，其中一个一定是编号最大的点 \(n\)。
2. 每个节点在序列中出现的次数是其度数减 \(1\)，因此没有出现的就是叶节点。

用 Prufer 序列构造树

根据 Prufer 序列的性质，我们可以得到原树上每个点的度数。

每次我们选择一个编号最小的度数为 \(1\) 的节点，与当前枚举到的 Prufer 序列的点连接，然后同时减掉两个点的度数。重复 \(n-2\) 次后就只剩下两个度数为 \(1\) 的节点，其中一个是 \(n\)，把它们连接起来即可。

• \(\mathcal{O}(n \log n)\) 同样地，显然，使用堆可以做到 \(\mathcal{O}(n \log n)\) 的复杂度。

• \(\mathcal{O}(n)\) 类似地，使用一个指针代替堆找最小值，可以做到 \(\mathcal{O}(n)\) 的复杂度。

具体而言，指针指向编号最小的度数为 \(1\) 的节点。每次将它与当前枚举到的 Prufer 序列的点连接之后，如果产生了新的度数为 \(1\) 的节点且编号比指针指向的更小，则直接继续将它与下一个 Prüfer 序列的点连接，否则自增找到下一个编号最小的度数为 \(1\) 的节点。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int f[N], d[N], p[N];

void tree2prufer()
{
    for (int i = 1; i < n; i ++ )
    {
        scanf("%d", &f[i]);
        d[f[i]] ++ ;
    }

    for (int i = 0, j = 1; i < n - 2; j ++ )
    {
        while (d[j]) j ++ ;
        p[i ++ ] = f[j];
        while (i < n - 2 && -- d[p[i - 1]] == 0 && p[i - 1] < j) p[i ++ ] = f[p[i - 1]];
    }

    for (int i = 0; i < n - 2; i ++ ) printf("%d ", p[i]);
}

void prufer2tree()
{
    for (int i = 1; i <= n - 2; i ++ )
    {
        scanf("%d", &p[i]);
        d[p[i]] ++ ;
    }
    p[n - 1] = n;

    for (int i = 1, j = 1; i < n; i ++, j ++ )
    {
        while (d[j]) j ++ ;
        f[j] = p[i];
        while (i < n - 1 && -- d[p[i]] == 0 && p[i] < j) f[p[i]] = p[i + 1], i ++ ;
    }

    for (int i = 1; i <= n - 1; i ++ ) printf("%d ", f[i]);
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    if (m == 1) tree2prufer();
    else prufer2tree();

    return 0;
}

Cayley 公式 (Cayley's formula)

完全图 \(K_n\) 有 \(n^{n-2}\) 棵生成树。

怎么证明？方法很多，但是用 Prüfer 序列证是很简单的。任意一个长度为 \(n-2\) 的值域 \([1,n]\) 的整数序列都可以通过 Prüfer 序列双射对应一个生成树，于是方案数就是 \(n^{n-2}\)。

图连通方案数

Prüfer 序列可能比你想得还强大。它能创造比 凯莱公式 更通用的公式。比如以下问题：

一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的带标号无向图有 \(k\) 个连通块。我们希望添加 \(k-1\) 条边使得整个图连通。求方案数。

证明

设 \(s_i\) 表示每个连通块的数量。我们对 \(k\) 个连通块构造 Prüfer 序列，然后你发现这并不是普通的 Prüfer 序列。因为每个连通块的连接方法很多。不能直接淦就设啊。于是设 \(d_i\) 为第 \(i\) 个连通块的度数。由于度数之和是边数的两倍，于是 \(\sum_{i=1}^kd_i=2k-2\)。则对于给定的 \(d\) 序列构造 Prüfer 序列的方案数是

\[\binom{k-2}{d_1-1,d_2-1,\cdots,d_k-1}=\frac{(k-2)!}{(d_1-1)!(d_2-1)!\cdots(d_k-1)!} \]

对于第 \(i\) 个连通块，它的连接方式有 \({s_i}^{d_i}\) 种，因此对于给定 \(d\) 序列使图连通的方案数是

\[\binom{k-2}{d_1-1,d_2-1,\cdots,d_k-1}\cdot \prod_{i=1}^k{s_i}^{d_i} \]

现在我们要枚举 \(d\) 序列，式子变成

\[\sum_{d_i\ge 1，\sum_{i=1}^kd_i=2k-2}\binom{k-2}{d_1-1,d_2-1,\cdots,d_k-1}\cdot \prod_{i=1}^k{s_i}^{d_i} \]

好的这是一个非常不喜闻乐见的式子。但是别慌！我们有多元二项式定理：

\[(x_1 + \dots + x_m)^p = \sum_{\substack{c_i \ge 0 ,\ \sum_{i=1}^m c_i = p}} \binom{p}{c_1, c_2, \cdots ,c_m}\cdot \prod_{i=1}^m{x_i}^{c_i} \]

那么我们对原式做一下换元，设 \(e_i=d_i-1\)，显然 \(\sum_{i=1}^ke_i=k-2\)，于是原式变成

\[\sum_{e_i\ge 0，\sum_{i=1}^ke_i=k-2}\binom{k-2}{e_1,e_2,\cdots,e_k}\cdot \prod_{i=1}^k{s_i}^{e_i+1} \]

化简得到

\[(s_1+s_2+\cdots+s_k)^{k-2}\cdot \prod_{i=1}^ks_i \]

即

\[n^{k-2}\cdot\prod_{i=1}^ks_i \]

证毕！