矩阵范数的定义与推导

1、矩阵范数的定义

《计算方法》课本上的定义：

设 \(\textbf{A}\) 为 \(n\) 阶方阵，$|| \cdot || $ 为 \(\textbf{R}^n\) 中的某范数，则称为矩阵 \(\textbf{A}\) 的从属于该向量范数的范数，记为 \(|| \textbf{A} ||\).

这个教材（HUST）的描述实在是让我云里雾里，不得已，只得在其他地方找一找别的定义。在别的地方，有一个定义式叫做诱导范数，如下：

\(\displaystyle||\bold{A}||_{p}=\max_{x\ne\bold0}\left\{ \frac{||\bold{A} \bold x||_{p}}{||\bold x||_{p}} \right\}\). （①）

然后特意问了老师，这个定义式和教材上的定义是等价的。原因的话，其实是 \(x\) 取了单位向量，而且 \(x\) 的取值是不影响 （①） 中 \(\displaystyle||\bold{A}||_{p}\) 的取值的。

还要注意的一点是，这里矩阵范数所指的矩阵，其实是特指方阵，虽然书上没有说，但这个也是容易理解的。

2、三个矩阵范数的证明

设有 \(n\) 阶实方阵 \(\bold{A} = \{ a_{ij} \}\)，则从属于 \(l_1, l_2, l_∞\) 范数的矩阵范数分别为：

\[{|| \bold{A} ||}_1 = \max_{1 \leqslant j \leqslant n} \sum_{i = 1}^{n}|a_{ij}| \]

\[{|| \bold{A} ||}_2 = \sqrt{\rho(\bold{A}^{T}\bold{A})} \]

\[{|| \bold{A} ||}_∞ = \max_{1 \leqslant i \leqslant n} \sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}| \]

接下来我们就来证明上面的三个式子。

2.1、\(||\bold{A}||_1\) 范数

根据诱导范数的定义，\(\displaystyle ||\bold{A}||_{1} = \max_{x\ne\bold0}\left\{ \frac{||\bold{A} \bold x||_{1}}{||\bold x||_{1}} \right\}\)，然后，根据范数的定义：

\[||\bold{x}||_p = \left ( \sum_{i = 1}^{n} |x_i|^p \right )^{\frac{1}{p}}, \quad \bold{x} = (x_1, x_2, ... , x_n)^{T} \in \bold{R}^n . \]

有：

\[||\bold{A} \bold{x}||_{1} = \sum_{i = 1}^{n} \left| \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} \cdot x_j \right| \leqslant ||\bold{A} \bold{x}||_{1} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \left| a_{ij} \cdot x_j \right| \\ \leqslant \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \left| a_{ij} \right| \cdot \left| x_j \right| = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} \left| a_{ij} \right| \cdot |x_j| (对 \bold{A} 中各个列和与 x_i 的乘积进行求和) \\ \leqslant \max_{1 \leqslant j \leqslant n} \left( \sum_{i = 1}^{n} {|a_{ij}|} \right) \cdot \sum_{j = 1}^{n} {|x_j|} \]

然后，和分子进行比较，约去相同的项，就得到了 \(\displaystyle {|| \bold{A} ||}_1 = \max_{1 \leqslant j \leqslant n} \sum_{i = 1}^{n}|a_{ij}|\) 这个公式了。

但是，这其中有个问题，就是我们还需要验证等号确实能够取到。这里，我们取 \(\bold x = (0, 0, 1, ... , 0)^{T} \in {\bold R}^n\)，其中，\(\bold x\) 中为 \(1\) 的惟一一个分量的位置对应着矩阵中列的绝对值之和最大的那一列的列值。此时，等号成立。

2.2、\(||\bold A||_2\) 范数

2.3、\(||\bold A||_∞\) 范数