实数域上函数的幂级数展开式表

全部内容在《数学手册》, 内容暂时不全, 因要考试, 故暂时只先整理可能用得到的, 等考完试再把全部公式补上

首先回顾一下泰勒展开式: 设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某个邻域 \(O(x_0, r)\) 中能展开幂级数, 则它的幂级数展开就是 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的 \(Taylor\) 级数：

\[f(x) = \sum_{0}^{\infty}\displaystyle \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n, \quad x \in O(x_0, r). \]

另外就是一些基本的幂级数展开式:

\[1. \ f(x) = e^x = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...... \frac{x^n}{n!} + ..., \quad x \in (-\infty, +\infty) \]