切比雪夫不等式的证明
定理4.4 (切比雪夫不等式) 设随机变量 \(X\) 的期望和方差均存在，则对任意 \(\varepsilon > 0\)，有
\[P(|X - WX| \geq \varepsilon) \leq \displaystyle\frac{DX}{\varepsilon^2}
\]
等价形式为
\[P(|X - WX| < \varepsilon) \geq 1 - \displaystyle\frac{DX}{\varepsilon^2}
\]
证明 令
\[Y = \begin{cases}1& \omega \in \{ |X - EX| \geq \varepsilon \}, \\ 0& \text{其他}, \end{cases}
\]
则 \(Y \leq \displaystyle\frac{(X - EX)^2}{\varepsilon^2}\)，根据期望的性质，有
\[P(|X - WX| \geq \varepsilon) = EY \leq E\left[\displaystyle\frac{(X - EX)^2}{\varepsilon^2}\right] = \displaystyle\frac{DX}{\varepsilon^2}.
\]
以上是书本上的证明，我初读不理解，故在网上查阅其他形式的证明辅助理解，有效，如下：
命题 设随机变量具有数学期望 \(E(X) = \mu\)，方差 \(D(X) = \sigma^2\)，则对任意的正数 \(\varepsilon\) 有 \(P\{ |X - \mu| \geq \varepsilon \} \leq \displaystyle\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}\) 或 \(P\{ |X - \mu| \leq \varepsilon \} \geq 1 - \displaystyle\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}\)
证明过程：
- \(X\) 为连续型则有
\[P\{ |X - \mu| > \varepsilon \} = \int_{|X - \mu| \geq \varepsilon}f(x)dx \leq \int_{-\infty}^{+\infty}\displaystyle\frac{(x - \mu)^2}{\varepsilon^2}f(x)dx = \displaystyle\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}
\]
- \(X\) 为离散型则有
\[P\{ |X - \mu| \geq \varepsilon \} = \sum_{k \in |X - \mu| \geq \varepsilon}P_k \leq \sum_{k = 1}^{\infty}\displaystyle\frac{(x - \mu)^2}{\varepsilon^2}P_k = \displaystyle\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}
\]
注：上面的离散型证明中的第一个求和符号下面的 \(k\) 后面的符号不确定是否是 \(\in\)，原图有些不清晰，以后有时间会求证.
参考：https://upload-images.jianshu.io/upload_images/1653736-41db91d1e56d9cab.png
