1/n 级数发散性证明

原命题

我们从下面的题目直接看一般情况：

eg: 判定级数 \(a_n = \displaystyle\frac{1}{n^p}(n \geq 1, p > 0)\) 的敛散性.

解：\(f(x) = x^{-p}\) 在 \([1, +\infty)\) 上单调减；积分 \(\int_1^{+\infty} x^{-p}dx\) 在 \(p > 1\) 时收敛，在 \(p \leq 1\) 时发散. 由定理4(积分判别法)，级数 \(\sum{n^{-p}}\) 在 \(p > 1\) 时收敛，在 \(p \leq 1\) 时发散。

扩展

eg: 判断 \(a_n = \displaystyle\frac{1}{n}\) 的敛散性.

解：直接可以看出 \(\displaystyle\frac{1}{n}\) 单调减且收敛于零，故由定理 6(莱布尼茨判别法) 知级数 \(\sum{(-1)^{n - 1}a_n}\) 收敛.

附

1、定理4(积分判别法) 设 \(f(x)\) 在区间 \([1, +\infty)\) 上非负且单调减，\(a_n = f(n)\ (n = 1,2,...)\)，则级数 \(\sum{a_n}\) 收敛当且仅反常积分 \(\int_1^{+\infty}f(x)dx\) 收敛.

证明：

2、反常积分的定义：

3、定理 6：Leibniz 判别法

参考：华科微积分教材