快速求一个整数的平方根

简单的迭代法：

int sqrt(int N)
{
    for (int i = 1; i <= N / 2; i++)
    {
        if(i * i == N ) {
            return i;
        }
        if (i * i < N && (i + 1) * (i + 1) > N) {
            return i;
        }
    }
}

折半迭代法(老师给的方法)：

int sqrt(int N)
{
    int first = 1, last;
    while(1) {
        last = N / first;
        first = (first + last) / 2;
        if (first == last || first == last - 1) {
            return first;   
        }
    }
    return 0;
}

关于折半法的解释：

从 last = N / first 可以看出 N = first * last，结合下面的 first = (first + last) / 2 可知，每一次循环都会把寻找的数的数量规模缩减为原来的一半，我们简单思考一下，先来两个实例帮助理解：

求 20 的整数平方根：

first	last
1	20
10	2
6	3
4	5

求 25 的整数平方根：

first	last
1	25
13	1
7	3
5	5

我们知道，每一次迭代的时候，first和last的乘积都是N，在不能恰好开方的时候，如果last - first != 1，那么我们所求的最后的结果必定存在于first和last之间，然后我们再在下一次的迭代中将last置为N/first，first置为first和last的中间值，每一次的迭代我们都在向最终的first和last接近，使得first * first < N, last * last > N，同时last - first == 1，此时first就是我们所要求的结果。对于恰好能开方的情况，就可以同理了。

此算法时间复杂度为 \(O(log N)\)

---

更新：

同样是折半查找，我觉得下面的算法更容易理解一些(参考了 LeetCode 的题解)：

public int mySqrt(int x) {
    if (x == 1) {
        return 1;
    }
    int min = 0;
    int max = x;
    while (max - min > 1) {
        int m = (max + min) / 2;
        if (x / m < m) { // 这里也可以用乘法，应该要更快一点
            max = m;
        } else {
            min = m;
        }
    }

    return min;
}

注意，这里是 Java 代码。