蒲丰投针问题
问题描述
平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为 l 的针，求针与平行线相交的概率.
解：
以 \(x\) 表示针的中点与最近一条平行线的距离。又以 \(\varphi\) 表示针与此直线间的交角。易知样本空间 \(\Omega\) 满足：
\[0 \leq x \leq \frac{d}{2}; \ 0 \leq \varphi \leq \pi.
\]
\(\Omega\) 形成 \(x - \varphi\) 平面上的一个矩形，其面积为：
\[S_{\Omega} = \frac{d\pi}{2}
\]
A = "针与平行线相交" 的充要条件是：
\[x \leq \frac{l}{2}sin{\varphi}
\]
针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法求解得：
\[P(A) = \displaystyle\frac{S_{A}}{S_{\Omega}} = \displaystyle\frac{\int_{0}^{\pi}\frac{l}{2}sin{\varphi}d\varphi}{\frac{\pi d}{2}} = \displaystyle\frac{2l}{d\pi}
\]
