根据贝叶斯公式求解三门问题

本问题用到的公式

条件概率公式和乘法公式:

\[P(A|B) = \displaystyle\frac{P(AB)}{P(B)} \]

\(\Rightarrow\)

\[P(AB) = P(B)P(AB) \]

\[P(AB) = P(A)P(B|A) \]

全概率公式:

\(A_1, A_2, ..., A_n\) 是对 \(\Omega\) 的一个划分:

\[(1) \ A_iA_j = \varnothing, i \neq j \ (2) \ \displaystyle\sum_{i = 1}^{\infty}A_i = \Omega \]

则对任何事件B有

\[P(B) = \displaystyle\sum_{i = 1}^{\infty}P(A_i)P(B|A_i) \]

贝叶斯公式(Bayes):

\(A_1, A_2, ..., A_n\) 是对 \(\Omega\) 的一个划分,则

\[P(A_i|B) = \displaystyle\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\displaystyle\sum_{j = 1}^{n}P(A_j)P(B|A_j)}, \ i = 1, 2, ..., n \]

问题描述

1990年,美国《Parade展示》杂志“Ask Marilyn”专栏的主持人玛莉莲·莎凡收到了一名读者的提问:假设你正在参加一个游戏节目,你被要求在三扇门中选择一扇。其中一扇后面有一辆汽车,其余两扇后面则是山羊。你选择了一扇门,假设是一号门,然后知道门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门,假设是三号门。他然后问你: “你想选择二号吗?

问题解答

这个问题根据贝叶斯公式得出的解法是相同的,但是表述会有不同,下面列举两个表述(我个人认为第二种表述更容易理解一些):

表述一

设 $A_i = $ {第 i 号门后是汽车},i = 1,2,3;

$B_j = $ {选择第 j 号门},j = 1,2,3

$C = $ {主持人不知道哪个门是汽车,打开了 3 号门是山羊},

\[P(A_1 | B_1C) = ? \ P(A_2 | B_1C) = ? \]

\[P(B_1C) = \sum_{i = 1}^{3}P(A_iB_1C) = \sum_{i = 1}^{3}P(A_iB_1)P(C|A_iB_1) = P(A_1B_1)P(C|A_1B_1) + P(A_2B_1)P(C|A_2B_1) + P(A_3B_1)P(C|A_3B_1) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} (\frac{1}{2} + 1 + 0) = \frac{1}{6} \]

\[P(A_1|B_1C) = \frac{P(A_1B_1)P(C|A_1B_1)}{P(B_1C)} = \frac{\frac{1}{9} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{3} \ P(A2|B_1C) = \frac{\frac{1}{9} \times 1}{\frac{1}{6}} = \frac{2}{3} \]

表述二

分析:

  1. 因为假定玩家选择的是 1 号门,所以,如果 1 号门后是汽车,则主持人会随机打开 2、3 号门,打开的概率都是 \(\frac{1}{2}\);
  2. 如果 1 号门后面不是汽车,则主持人一定会打开 2 号门或 3 号门中的一扇,概率分别为 0 和 1.

解:

设事件 \(A_i(i = 1, 2, 3)\) 为“第 i 扇门后有汽车”,事件 B 为“主持人打开 3 号门”,则:

\[P(A_1) = \frac{1}{3} \ P(A_2) = \frac{1}{3} \ P(A_3) = \frac{1}{3} \]

易得:第 i 扇门后有汽车主持人打开 3 号门的概率 \(P(B|A_i)\):

  • 第1扇门后有汽车,主持人打开3号门的概率为 \(P(B|A_1) = \frac{1}{2}\)
  • 第2扇门后有汽车,主持人打开3号门的概率为 \(P(B|A_2) = 1\)
  • 第3扇门后有汽车,主持人打开3号门的概率为 \(P(B|A_3) = 0\)

所以 \(P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3) = \frac{1}{2}\),

最终想要求的结果:主持人打开 3 号门之后 第 i 号门后有汽车的概率 \(P(A_i|B)\)

\[P(A_1|B) = \displaystyle\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \displaystyle\frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \]

\[P(A_2|B) = \displaystyle\frac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)} = \displaystyle\frac{\frac{1}{3} \times 1}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \]

由此可知,玩家应该换一扇门。

注:我的迷惑点是为什么主持人打开 3 号门这样的事情也要算概率呀,还有,为什么就可以直接假设主持人选择了 3 号门呀,这样真的没有问题吗,我不确定,对,之前是不确定,可是在困惑了几乎今天整整一天时,我仿佛顿悟了,选门是一定要选的,而且我现在是按照第二种描述来理解的,所以关于选门这件事情是一定要搞清楚的,选门对我来说就是这个问题的症结所在 ,所谓条件概率,就是要算出作为条件的那个概率嘛。至于为什么想通了,是因为注意到了之前的条件,就是假定玩家选择了1号门这件事情是可以理解的,然后主持人肯定是要另外再开一扇门的嘛,那就从剩下的两扇门中选一扇好了,选是一定要选的,在选的时候,你无论选两扇门中的哪一扇最后算出来的 \(P(B)\) 都是相同的,这就解释了为什么我们可以假定主持人选择了3号门,因为这也是概率事件,至于主持人选择的门一定是有山羊的门,那就是附带的必然条件了。然后最后求解后验概率当然就是要利用条件概率来球了。其实到这里我还是理解得不是很透彻,不过,先到这里吧,总之考试时候遇上了是肯定不虚的,至于透彻理解什么的,以后遇到的时候说不定再想想就会更加深刻吧。

参考:文章链接

posted @ 2020-09-24 11:11  模糊计算士  阅读(4592)  评论(1编辑  收藏  举报