根据贝叶斯公式求解三门问题

本问题用到的公式

条件概率公式和乘法公式：

\[P(A|B) = \displaystyle\frac{P(AB)}{P(B)} \]

\(\Rightarrow\)

\[P(AB) = P(B)P(AB) \]

\[P(AB) = P(A)P(B|A) \]

全概率公式：

设 \(A_1, A_2, ..., A_n\) 是对 \(\Omega\) 的一个划分：

\[(1) \ A_iA_j = \varnothing, i \neq j \ (2) \ \displaystyle\sum_{i = 1}^{\infty}A_i = \Omega \]

则对任何事件B有

\[P(B) = \displaystyle\sum_{i = 1}^{\infty}P(A_i)P(B|A_i) \]

贝叶斯公式（Bayes）：

设 \(A_1, A_2, ..., A_n\) 是对 \(\Omega\) 的一个划分，则

\[P(A_i|B) = \displaystyle\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\displaystyle\sum_{j = 1}^{n}P(A_j)P(B|A_j)}, \ i = 1, 2, ..., n \]

问题描述

1990年，美国《Parade展示》杂志“Ask Marilyn”专栏的主持人玛莉莲·莎凡收到了一名读者的提问：假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇。其中一扇后面有一辆汽车，其余两扇后面则是山羊。你选择了一扇门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门,假设是三号门。他然后问你: “你想选择二号吗？

问题解答

这个问题根据贝叶斯公式得出的解法是相同的，但是表述会有不同，下面列举两个表述（我个人认为第二种表述更容易理解一些）：

表述一

设 $A_i = $ {第 i 号门后是汽车}，i = 1，2，3；

$B_j = $ {选择第 j 号门}，j = 1，2，3

$C = $ {主持人不知道哪个门是汽车，打开了 3 号门是山羊}，

\[P(A_1 | B_1C) = ? \ P(A_2 | B_1C) = ? \]

\[P(B_1C) = \sum_{i = 1}^{3}P(A_iB_1C) = \sum_{i = 1}^{3}P(A_iB_1)P(C|A_iB_1) = P(A_1B_1)P(C|A_1B_1) + P(A_2B_1)P(C|A_2B_1) + P(A_3B_1)P(C|A_3B_1) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} (\frac{1}{2} + 1 + 0) = \frac{1}{6} \]

\[P(A_1|B_1C) = \frac{P(A_1B_1)P(C|A_1B_1)}{P(B_1C)} = \frac{\frac{1}{9} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{3} \ P(A2|B_1C) = \frac{\frac{1}{9} \times 1}{\frac{1}{6}} = \frac{2}{3} \]

表述二

分析：

1. 因为假定玩家选择的是 1 号门，所以，如果 1 号门后是汽车，则主持人会随机打开 2、3 号门，打开的概率都是 \(\frac{1}{2}\);
2. 如果 1 号门后面不是汽车，则主持人一定会打开 2 号门或 3 号门中的一扇，概率分别为 0 和 1.

解：

设事件 \(A_i(i = 1, 2, 3)\) 为“第 i 扇门后有汽车”，事件 B 为“主持人打开 3 号门”，则：

\[P(A_1) = \frac{1}{3} \ P(A_2) = \frac{1}{3} \ P(A_3) = \frac{1}{3} \]

易得：第 i 扇门后有汽车主持人打开 3 号门的概率 \(P(B|A_i)\):

• 第1扇门后有汽车，主持人打开3号门的概率为 \(P(B|A_1) = \frac{1}{2}\)
• 第2扇门后有汽车，主持人打开3号门的概率为 \(P(B|A_2) = 1\)
• 第3扇门后有汽车，主持人打开3号门的概率为 \(P(B|A_3) = 0\)

所以 \(P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3) = \frac{1}{2}\),

最终想要求的结果：主持人打开 3 号门之后 第 i 号门后有汽车的概率 \(P(A_i|B)\)

\[P(A_1|B) = \displaystyle\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \displaystyle\frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \]

\[P(A_2|B) = \displaystyle\frac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)} = \displaystyle\frac{\frac{1}{3} \times 1}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \]

由此可知，玩家应该换一扇门。

注：我的迷惑点是为什么主持人打开 3 号门这样的事情也要算概率呀，还有，为什么就可以直接假设主持人选择了 3 号门呀，这样真的没有问题吗，我不确定，对，之前是不确定，可是在困惑了几乎今天整整一天时，我仿佛顿悟了，选门是一定要选的，而且我现在是按照第二种描述来理解的，所以关于选门这件事情是一定要搞清楚的，选门对我来说就是这个问题的症结所在 ，所谓条件概率，就是要算出作为条件的那个概率嘛。至于为什么想通了，是因为注意到了之前的条件，就是假定玩家选择了1号门这件事情是可以理解的，然后主持人肯定是要另外再开一扇门的嘛，那就从剩下的两扇门中选一扇好了，选是一定要选的，在选的时候，你无论选两扇门中的哪一扇最后算出来的 \(P(B)\) 都是相同的，这就解释了为什么我们可以假定主持人选择了3号门，因为这也是概率事件，至于主持人选择的门一定是有山羊的门，那就是附带的必然条件了。然后最后求解后验概率当然就是要利用条件概率来球了。其实到这里我还是理解得不是很透彻，不过，先到这里吧，总之考试时候遇上了是肯定不虚的，至于透彻理解什么的，以后遇到的时候说不定再想想就会更加深刻吧。

参考：文章链接