概率论公式（续）
1、条件概率公式
\[P(A|B) = \displaystyle\frac{P(AB)}{P(B)}
\]
推论 \(\Rightarrow\)
\[1、P(A \cup B | C) = P(A|C) + P(B|C) - P(AB|C)
\]
若 A 与 B 互不相容，则
\[2、P(A \cup B | C) = P(A|C) + P(B|C)
\]
\[3、P(\overline{A} | B) = 1 - P(A | B)
\]
注意点： \(P(\Omega | B) = 1; \ P(B|\Omega) \neq 1; \ P(A|\Omega) = P(A); \ P(A|A) = 1.\)
2. 乘法公式
由 \(P(A|B) = \displaystyle\frac{P(AB)}{P(B)} \ \Rightarrow\)
\[P(AB) = P(B)P(A|B) \ P(B) \neq 0
\]
\[P(AB) = P(A)P(B|A) \ P(A) \neq 0
\]
\[P(A_1A_2...A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)...P(A_n|A_1A_2...A_{n - 1})
\]
3、全概率公式
设 \(A_1, A_2, ..., A_n\) 是对 \(\Omega\) 的一个划分：
\[(1) \ A_iA_j = \varnothing, i \neq j \ (2) \ \displaystyle\sum_{i = 1}^{\infty}A_i = \Omega
\]
则对任何事件B有
\[P(B) = \displaystyle\sum_{i = 1}^{\infty}P(A_i)P(B|A_i)
\]
4、贝叶斯公式（Bayes）
设 \(A_1, A_2, ..., A_n\) 是对 \(\Omega\) 的一个划分，则
\[P(A_i|B) = \displaystyle\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\displaystyle\sum_{j = 1}^{n}P(A_j)P(B|A_j)}, \ i = 1, 2, ..., n
\]
对条件概率公式变形，可得到如下公式：
\[P(A|B) = P(A) \displaystyle\frac{P(B|A)}{P(B)}
\]
