接草成环问题

问题描述：

春天里,校园的草坪上有一对情侣,女孩希望男孩送给她一个花环,于是扯了6根花草,握在手中上下两端分别露出6个头和尾,让男孩将将上下两端的6个头任意两两相接, 6个尾任意两两相接.求男孩能结成一个花环的概率.

解：

6个头两两相接（无论如何接）将构成3根草，然后连接6个尾：实际上相当于6个元素分成3组，每组2个，但没有组号区别。所以共有 \(\displaystyle\frac{C_6^2C_4^2C_2^2}{3!}\) 种分法。注意，这个式子的分母是有顺序的排列，但是我们不需要顺序，所以要排除因为顺序带来的重复分法，所以要除以分子 \(3!\) (因为两个一组，共有三组，而组的内部不需要考虑重复)。然后考虑能接成环的分法。我们不妨固定一组草，然后分析草的一端，发现其有4种接法和令两组草的其中一端相接，而接好了这一端之后，另一端的接法显然就可以分析出来有两种，故共有 \(4 \times 2\) 种，因此所求概率为 \(\displaystyle\frac{8}{15}\).