随机事件与概率定义及公式整理
1、随机事件与样本空间及关系和运算
1.1、样本空间
样本空间 \(\Omega\) : E 的所有可能结果为元素构成的集合
样本点 : \(\Omega\) 中的元素，即试验的一个基本结果
其中，试验的特征为：
- 试验可以在相同的条件下重复进行
- 试验的结果可能不止一个，但试验前知道所有可能的全部结果
- 在每次试验前无法确定会出现哪个结果具有上述特征的试验称为 随机试验，简称 试验
1.2、随机事件
样本空间 \(\Omega\) 的子集称为 随机事件，简称为 事件
随机试验的数学描述：
-
试验 E 的全部结果(其中是基本结果的集合) \(\Leftrightarrow\) 样本空间 \(\Omega\) (其中是样本点的集合)
-
随机事件 \(\Leftrightarrow\) \(\Omega\) 中的子集 A
-
事件 A 发生 \(\Leftrightarrow\) A中样本点出现
基本事件：由一个样本点构成的单点集 { \({\omega}\) }
必然事件：\(\Omega(\Omega \subset \Omega)\)
不可能事件：\(\empty(空集\empty \subset \Omega)\)
1.3、事件的关系与运算
-
1、\(A \subset B\) \(\Leftrightarrow\) A 发生必导致 B 发生. 特别有 A = B \(\Leftrightarrow\) \(A \subset B, \ B \subset A\)
-
2、\(A \cup B = \{ \omega \in A \ or \ \omega \in B \}\) \(\Leftrightarrow\) A 发生或 B 发生，即 A，B 至少有一个发生，称为事件 A，B 的 和
-
3、\(A \cap B = \{ \omega \in A, \ \omega \in B \}\) \(\Leftrightarrow\) A，B 同时发生称为事件 A，B 的 积
类似地可定义 n 个事件的积：
\[\bigcap^{n}_{i = 1} A_i = \{ \omega \ | \ \omega \in A_i, \ i = 1, 2,..., n \} \] -
4、\(A - B = \{ \omega \ | \ \omega \in A, \ \omega \notin B \}\) \(\Leftrightarrow\) A 发生 B 不发生称为事件 A，B 的差
-
5、若 \(A \cap B = \empty\)，则称 A，B 互不相容（互斥），即 A，B 不能同时发生
-
6、若 \(A \cup B = \Omega\) 且 \(A \cap B = \empty\)，则称 A，B 互为 逆事件 或称为 对立事件，记为
\[A = \Omega - B = \bar{B}, \ B = \Omega - A = \bar{A} \]
1.4、事件的运算定律
2、频率与概率
事件域
设 \(\Omega\) 为样本空间，F 是由 \(\Omega\) 的子集组成的集合类，若 F 满足一下三点，则称 F 为 事件域
- \(\Omega \in F\);
- 若 \(A \in F\)，则 \(\bar{A} \in F\)
- 若 \(A_n \in F, \ n = 1, 2, ... ,\) 则 $$\bigcup^{+ \infty}_{n = 1} \in F$$
2.1、频率(并由此导出概率的统计定义)
定义：记 \(f_n(A) = \displaystyle{\frac{n_A}{n}}\)；其中 \(n_A\)——A 发生的次数(频数)；n——总试验次数。称 \(f_n(A)\) 为 A 在这 n 次试验中发生的频率。
性质：
- \(0 \leq f_n(A) \leq 1\)
- \(f_n(\Omega) = 1\)
- 若 \(A_1, A_2, ..., A_k\) 两两互不相容，则
且 \(f_n(A)\) 随 n 的增大逐渐稳定，记稳定值为 p.
这种性质称为频率稳定性，也就是通常所说的统计规律性。
频率稳定值 即概率的统计定义。
2.2、概率的公理化定义
2.2.1、公理
- 非负性公理： \(P(A) \geq 0\);
- 正则性公理： \(P(\Omega) = 1\);
- 可列可加性公理： 若 \(A_1, A_2, ......, A_n......\) 互不相容，则
注：不互斥就是相容，相容，根据字面意思，就是互相有包容的意思，就是有交集。
2.2.2、性质
-
\(P(\empty) = 0\)
-
有限可加性
\[P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k) = P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_k) \]其中，\(A_1, A_2 ... A_k\) 两两互不相容
-
如果 \(A \subset B\)，则
- \(\forall A \subset \Omega, \ 0 \leq P(A) \leq 1\)
- \(\forall A \subset \Omega, \ P(\bar{A}) = 1 - P(A)\)
- (加法公式) \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\) (注意：\(A \cup B = A \cup (B - AB)\)，不要因为东西多而犯迷糊了) 推广：
3、等可能概型(古典概型)
3.1、定义
具有以下两个条件的随机试验称为等可能概型，
- 有限性 试验的样本空间中的元素只有有限个；
- 等可能性 每个基本事件的发生的可能性相同。
等可能概型也称古典概型。
3.2、计算公式
- \(\Omega = \{ {\omega}_1, {\omega}_2, ..., {\omega}_n \}\) 且 \(P({\omega}_1) = P({\omega}_2) = ... = P({\omega}_n)\)
- 若事件 A 包含 k 个基本事件，即
其中 \((i_1, i_2, ... i_k \ 表示 \ 1, 2, ..., n \ 中的 \ k \ 个不同的数)\)
则有 \(P(A) = \displaystyle{\frac{k}{n}} = \displaystyle{\frac{A 包含的基本事件数}{\Omega 中基本事件的总数}}\)
3.3、计算方法
- 构造 A 和 \(\Omega\) 的样本点(当样本空间 \(\Omega\) 的元素较少时，先一一列出 \(\Omega\) 和 A 中的元素，直接利用 \(P(A) = \displaystyle{\frac{k}{n}}\) 求解)
- 用 排列组合 方法求 A 和 \(\Omega\) 的样本点个数
预备知识：
Ⅰ. 加法原理：完成一项工作 m 类方法，第 i 类方法有 \(n_i\) 种(i = 1, 2, ..., m)，则完成这项工作共有：\(n_1 + n_2 + ... + n_m\) 种方法。
Ⅱ. 乘法原理：完成一个工作有 m 个步骤，第 i 步有 \(n_i\) 种方法(i= 1, 2, ..., m)，则完成该项工作一共有：\(n_1n_2...n_m\) 种方法。
Ⅲ. 排列：从 n 个元素中取出 r 个元素，按一定顺序排成一列，称为从 n 个元素里取出 r 个元素的排列。(n, r 均为整数)
① (无放回选取) 从 n 个不同的元素中无放回地取出 m 个(\(m \leq n\)) 进行排列，共有 \(P^{m}_{n} = n(n - 1)...(n - m + 1) = \displaystyle{\frac{n!}{(n - m)!}}\) 种方法。当 \(m = n, P^{n}_{n} = n!\)，这叫全排列。
② (有放回选取) 从 n 个不同元素中有放回地抽取 r 个，依次排成一列，称为可重复排列，一共有 \(n^r\) 种方法。
Ⅳ. 组合：从 n 个元素中无放回取出 r 个元素，不考虑其顺序，组合数为
