欧几里得算法的证明

求证：欧几里得算法（也叫辗转相除法），即：

gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

证明：

前提公式：

\(\left . \begin{array}{lcr} a = md \\ b = \ nd \\ m、n互质 \end{array} \right\} \Leftrightarrow d是a和b的最大公约数\)

设 gcd(a, b) = \(d_1\),

\(\Rightarrow \left . \begin{array}{lcr} a = md_1 \\ b = \ nd_1 \end{array} \right\} 其中，m、n互质\)

\(a = bq + r_1 \Rightarrow r1 = a - bq = md_1 - nqd_1 = (m - nq)d_1\)

只要证明 n 与 m - nq 互质.

下面用反证法来证明 n 与 m - nq 互质：
首先，假设 n 与 (m - nq) 不互质
不妨设 \(gcd(n, m - nq) = d_2\)(其中，\(d_2\) > 1)

\(\Rightarrow \left \{ \begin{array}{lcr} n = xd_2 \\ m - nq = yd_2 \end{array} \right . 其中，x、y互质\)

然后可得：\(m = (y + xq)d_2\) \(\Rightarrow\) m、n不互质，这与前面的条件矛盾，故假设不成立，所以 n 与 m-nq 互质，由前提公式得，\(d_1\)是 b 和 \(r_1\) 的最大公约数，又：\(d_1\) 是 a 和 b 的最大公约数，所以：

gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)，命题得证。