联机算法（又叫在线处理，online algorithm）求最大子序列和的证明

C语言代码：

int MaxSubsequenceSum(const int A[], int N)
{
    int ThisSum, MaxSum, j;
    
    ThisSum = MaxSum = 0;
    for (j = 0; j < N; j++)
    {
        ThisSum += A[j];
        
        if (ThisSum > MaxSum)
            MaxSum = ThisSum;
        else if (ThisSum < 0)
            ThisSum = 0;
    }
    return MaxSum;
}

求证：这个算法的正确性，即能够求出最后的正确的最大子序列和。

证明：

我们可以取一个通常的待求最大子序列和的数列：

\(a_1,a_2,a_3...a_{p-1},a_p,a_{p+1}...a_n\)

这个数列一共有n项，我们可以先排除\(a_1\)为负数的情况，因为这会被自动地归零处理。

然后我们设\(a_p\)为这个序列的第一个断点，就是\(a_p\)之气的所有项之和ThisSum都没有因为序列和变成负数而归零重置过，然后我们将要证的命题进行转化-->我们知道\(a_1\)和\(a_p\)这两个数是可以排除作为新的子序列的起点的，所以，我们只需要证明：

• 在\(a_2\)到\(a_{p-1}\)(包括边界，下同)之间不可能存在有子序列的和比从\(a1\)到\(a_{p-1}\)之间按照算法取出来的子序列和最大值要大；
• 在\(a_2\)和\(a_{p-1}\)之间不会存在一个数\(a_x\)，使\(a_x\)到\(a_p\)之间所有数之和为非负数。

下面我们就用反证法来证明这两点的正确性：

首先，我们要明确一个前提，就是从\(a_1\)到\(a_{p-1}\)之间任何一个以\(a_1\)为起点的子序列的和都是非负数。

1. 对于第一点，我们假设存在一个符合条件的子序列，其起点为\(a_x, 1 < x < p - 1\)，其所包含的所有数之和比从\(a1\)到\(a_{p-1}\)之间按照算法取出来的子序列和最大值要大。然后，根据我们的前提，我们知道索引x之前的一直到起点的子序列和一定是非负的，所以我们假设的那个子序列就还可以变得更大，如果加上所有前面的数的话，可是，这就与假设的序列和比从\(a1\)到\(a_{p-1}\)之间按照算法取出来的子序列和最大值要大这一条件相矛盾了，故，假设不成立。
2. 对于第二点，我们假设在\(a_1\)和\(a_{p-1}\)之间存在一个数\(a_x\)，使\(a_x\)到\(a_p\)之间所有数之和为非负数，那么根据前提，我们加上\(a_x\)前面的所有的数，结果还是为非负的，可是，由于\(a_p\)是断点，即ThisSum < 0，然而根据假设却得出相反的结论，所以假设不成立。

到这里，第一个断点之后的情况也显然得证，由此，该待证命题的正确性得证。

感谢我的同学万某，是他与我一起想出并完善了这个证明的证法。