树状数组

树状数组

基本概念

假设数组a[1..n]，那么查询a[1]+...+a[n]的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。

树状数组的结构图

令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：

C1 = A1

C2 = A1 + A2

C3 = A3

C4 = A1 + A2 + A3 + A4

C5 = A5

C6 = A5 + A6

C7 = A7

C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

...

C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

这里有一个有趣的性质：

设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，

所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：

1 2 3

int lowbit(int x){ return x&(x^(x–1)); }

利用机器补码特性，也可以写成：

1 2 3

int lowbit(int x){ return x&(-x); }

当想要查询一个SUM(n)(求a[n]的和），可以依据如下算法即可：

step1:　令sum = 0，转第二步；

step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；

step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。

可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：

n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

那么修改呢，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。

所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：

step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；

step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。

i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。

对于数组求和来说树状数组简直太快了!

注：

求lowbit(x)的建议公式：

lowbit(x):=x and (x xor (x - 1));

或lowbit(x):=x and (-x);

lowbit(x)即为2^k的值。

 

实例代码

/******************************************

    树状数组：
     



*****************************************/ 

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>

int a[17],c[17];


//Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An
//算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

int sum(int n)
{
    int sum=0;
    while(n>0)
    {
        sum += c[n];
        n = n-lowbit(n);
    }
    
    return sum;
}

//某个几点加上一个数 
void Add(int pos,int b,int max)
{
    while(pos<=max)
    {
        c[pos] += b;
        pos = pos+lowbit(pos);
    }
}

//某个节点乘上一个数 
void Muil(int pos,int b,int max)
{
    while(pos<=max)
    {
        c[pos] *=b;
        pos = pos + lowbit(pos);
    }
}

//显示数组 
void display(int* a)
{
    int i;
    for(i=1;i<=a[0];i++)
    {
        printf("%d ",a[i]);
    }
    printf("\n");
}

int main()
{
    int choice,num,pos,max=16;
    
    memset(c,0,sizeof(c));
    memset(a,0,sizeof(a));
    c[0]=16;
    a[0]=16;
    
    printf("加（1），位置（pos）、数（a）\n");
    printf("减（-1），位置（pos）、数（a）\n");
    printf("乘（0），位置（pos）、数（a）\n");
    printf("和（2），位置（pos）、0\n");
    printf("3 0 0,显示a、c素组\n");
    
    while(scanf("%d%d%d",&choice,&pos,&num)!=EOF)
    {
            switch(choice)
            {
                case 1:
                    a[pos] +=num;
                    Add(pos,num,max);
                    break;
                case -1:
                    a[pos] -=num;
                    Add(pos,(-1)*num,max);
                    break;
                case 0:
                    a[pos] *=num;
                    Muil(pos,num,max);
                    break;    
                case 2:
                    printf("%d\n",sum(pos));
                    break;
                case 3:
                    display(a);
                    display(c);    
                                    
            }
    }
    

    
    return 0;
}