3371 【模板】单源最短路径（Dijsktra）
题目描述
如题，给出一个有向图，请输出从某一点出发到所有点的最短路径长度。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含三个整数N、M、S，分别表示点的个数、有向边的个数、出发点的编号。
接下来M行每行包含三个整数Fi、Gi、Wi，分别表示第i条有向边的出发点、目标点和长度。
输出格式：
一行，包含N个用空格分隔的整数，其中第i个整数表示从点S出发到点i的最短路径长度（若S=i则最短路径长度为0，若从点S无法到达点i，则最短路径长度为2147483647）
代码：
1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 #include<queue> 4 using namespace std; 5 struct edge{ 6 int k;//终点 7 int w;//边权 8 //node(int kk, int ww):k(kk), w(ww){} 9 }; 10 bool operator <(const edge&n1, const edge&n2){ 11 return n1.w>n2.w; 12 } 13 priority_queue<edge>pq; 14 vector<vector<edge> >v; 15 const int inf = 2147483647; 16 bool used[10010]; 17 int d[10010]; 18 19 int main(){ 20 int n, m, s; 21 cin>>n>>m>>s; 22 v.clear(); 23 v.resize(m+1); 24 int i, j; 25 edge p;//(0, 0); 26 for(i = 1; i <= m; i++){ 27 int a, b, c; 28 cin>>a>>b>>c; 29 p.k = b; 30 p.w = c; 31 v[a].push_back(p); 32 } 33 for(i = 1; i <= n; i++) d[i] = inf; 34 d[s] = 0; 35 p.k = s; 36 p.w = 0; 37 pq.push(p); 38 while(!pq.empty()){ 39 p = pq.top(); 40 pq.pop(); 41 if(used[p.k])//已经求出了最短路 42 continue; 43 used[p.k] = true; 44 d[p.k] = p.w; 45 for(i = 0; i < v[p.k].size(); i++){ 46 edge q; 47 q.k = v[p.k][i].k; 48 if(!used[q.k]&&d[q.k]>p.w+v[p.k][i].w){ 49 q.w = p.w + v[p.k][i].w; 50 pq.push(q); 51 } 52 } 53 } 54 for(i=1; i<=n; i++) 55 cout<<d[i]<<" "; 56 return 0; 57 }
备注：
加堆优化的dijkstra模板。开始是照着gw的ppt写的，然后瞪了一个小时也没看懂for循环里面那几行，已经觉得人生绝望了。zmj帮我把程序改成了现在这样便于理解的状态，现在我要继续解析一下，边写边想。
用vector<vector<edge>>存图，结构体表示一条边，元素包括边权和终点编号。d[i]表示从源点到编号为i的点的最短距离。
首先把源点push进堆。然后进入while循环。
加堆是如何实现优化的呢？就是因为堆顶元素自动就是最近的元素。
取堆顶元素p（按照定义，这时p边所连的点p.k是堆里w最小，即距离“已选点集”最近的点），将p弹出（必须现在弹出，不能松弛完了再弹）。如果发现p.k是已经用过的点了，则跳过。如果是一个新的点，则将其标记。（pop出的点集就是“已选点集，他们全都used过了）
哎呀，写出来果然清楚多了。因为现在p.k是距离已选点集最近的点，所以它的d值其实已经确定了，于是更新（现在的d就是最终结果）。事实上现在p.k已经是我们选中的点了（即加入点集），接下来做的就是松弛跟它相连的点。
依次遍历与p.k相连的点，即q.k，如果q.k没有用过，并且d值比新路径大，则更新q.w（为什么不更新d值？因为这时d值还没有确定，当然更新也是可以的，但没这个必要。因为当它弹出去时的w值就是最终的d值，所以在这里只更新q.w就可以了），更新完了就把它push进堆，这样下一轮好直接取堆顶元素。
靠，我现在终于想明白了！为什么gw要那么写。因为d值在这里实际上一直是无穷大啊。所以这句根本是废话。弹出去的时候再更新就直接是最终的结果了啊。
再补充一句，为什么可以不用比较就直接给q.w赋值。因为赋值完了都是要把新q push进堆里的，我们总是取堆里最小的，所以那些不够小的push进去根本就无所谓，到时候就又都原封不动地弹出来了。
这个道理我tm想了一下午。写博客真是有奇效。
好了，我要附上gw的原代码写法了。orz
1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 #include<queue> 4 using namespace std; 5 struct edge{ 6 int k;//终点 7 int w;//边权 8 //node(int kk, int ww):k(kk), w(ww){} 9 }; 10 bool operator <(const edge&n1, const edge&n2){ 11 return n1.w>n2.w; 12 } 13 priority_queue<edge>pq; 14 vector<vector<edge> >v; 15 const int inf = 2147483647; 16 bool used[10010]; 17 int d[10010]; 18 19 int main(){ 20 int n, m, s; 21 cin>>n>>m>>s; 22 v.clear(); 23 v.resize(m+1); 24 int i, j; 25 edge p;//(0, 0); 26 for(i = 1; i <= m; i++){ 27 int a, b, c; 28 cin>>a>>b>>c; 29 p.k = b; 30 p.w = c; 31 v[a].push_back(p); 32 } 33 for(i = 1; i <= n; i++) d[i] = inf; 34 d[s] = 0; 35 p.k = s; 36 p.w = 0; 37 pq.push(p); 38 while(!pq.empty()){ 39 p = pq.top(); 40 pq.pop(); 41 if(used[p.k])//已经求出了最短路 42 continue; 43 used[p.k] = true; 44 d[p.k] = p.w; 45 for(i = 0; i < v[p.k].size(); i++){ 46 edge q; 47 q.k = v[p.k][i].k; 48 if(used[q.k])continue; 49 q.w = p.w + v[p.k][i].w; 50 pq.push(q); 51 } 52 } 53 for(i=1; i<=n; i++) 54 cout<<d[i]<<" "; 55 return 0; 56 }
相信这一下午没有白费，对dijkstra的理解应该还是很深刻的（这样安慰自己）。
