鞅在硬币序列问题中的体现

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上面这篇文章写得特别好。

 

 这块可能比较难理解。首先明确的是τ是赌博团伙向这个赌博游戏投入的全部成本，因为团伙是每天派一个人带着一元钱去，所以第τ天就总共投入了τ元钱。

Xτ就是赌博团伙在这个游戏中获得总的净收益，就是W-τ。然后就是一个宏观的理解，最开始也说了，这是一个公平游戏，不用考虑赌博团伙每天要派一个人这种问题，就考虑每个赌徒，他拿着一元钱去玩这个游戏，有1/2的概率赢1元钱，1/2的概率亏1元钱，1 = 1/2*2+1/2*0，对于赌场和赌徒来说这是个公平的游戏，所以W-τ就是一个鞅。

再考虑这道题：扔一个骰子，出现序列6565的期望次数是多少。

这道题和扔硬币是很像的，但注意就是要构造一个公平游戏。对于扔骰子，每次出现要的数的概率是1/6，出现不要的数是5/6。那么为了让期望是0，也就是游戏对于赌徒和赌场而言是公平的，就需要更高的回报，也就是赌徒投入x元钱，如果出现了他要的数字，他就可以拿到6x元，否则得到0元。1 = 1/6*6+5/6*0。所以最后的答案也就是把本来的公式里的2全都换成6。

有了这个秘诀之后这类题就都可以秒解了！