描述
给定一个无序的整数数组,找到其中最长上升子序列的长度。
示例:
输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101],它的长度是 4。
说明:
可能会有多种最长上升子序列的组合,你只需要输出对应的长度即可。
你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。
进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?
解析
动态规划
本文讲一种设计动态规划的通用技巧:数学归纳思想。
动态规划的核心设计思想是数学归纳法。
相信大家对数学归纳法都不陌生,高中就学过,而且思路很简单。比如我们想证明一个数学结论,那么我们先假设这个结论在 k<n 时成立,然后想办法证明 k=n 的时候此结论也成立。如果能够证明出来,那么就说明这个结论对于 k 等于任何数都成立。
类似的,我们设计动态规划算法,不是需要一个 dp 数组吗?我们可以假设 dp[0...i-1] 都已经被算出来了,然后问自己:怎么通过这些结果算出 dp[i]?
直接拿最长递增子序列这个问题举例你就明白了。不过,首先要定义清楚 dp 数组的含义,即 dp[i] 的值到底代表着什么?
我们的定义是这样的:dp[i] 表示以 nums[i] 这个数结尾的最长递增子序列的长度。
动态规划的重头戏是,要思考如何进行状态转移,这里就可以使用数学归纳的思想:
我们已经知道了 dp[0...4] 的所有结果,我们如何通过这些已知结果推出 dp[5]呢?
根据刚才我们对 dp 数组的定义,现在想求 dp[5] 的值,也就是想求以 nums[5] 为结尾的最长递增子序列。
nums[5] = 3,既然是递增子序列,我们只要找到前面那些结尾比 3 小的子序列,然后把 3 接到最后,就可以形成一个新的递增子序列,而且这个新的子序列长度加一。
当然,可能形成很多种新的子序列,但是我们只要最长的,把最长子序列的长度作为 dp[5] 的值即可。
还有一个细节问题,dp 数组应该全部初始化为 1,因为子序列最少也要包含自己,所以长度最小为 1。
二分
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代码
public int lengthOfLIS(int[] nums) { if (null == nums || nums.length <= 0) { return 0; } int len = nums.length; int[] dp = new int[len]; for (int i = 0; i < len; i++) { dp[i] = 1; } int res = 1;//当数组只有1个数,最小长度就是1 for (int i = 1; i < len; i++) { for (int j = 0; j < i; j++) { if (nums[j] < nums[i]) { dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1); res = Math.max(res, dp[i]); } } } return res; }