青蛙跳N阶(变态跳)

https://www.nowcoder.com/questionTerminal/22243d016f6b47f2a6928b4313c85387

描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

解析

关于本题，前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下:

f(1) = 1

f(2) = f(2-1) + f(2-2)         //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。

f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3) 

...

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n) 

 

说明： 

1）这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,...n阶的 跳法数。

2）n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1

3) n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2) 

4) n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶，

    那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3)

    因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)

5) n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶...n阶，得出结论：

    f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1)

    

6) 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：

    f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)

    f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)

    可以得出：

    f(n) = 2*f(n-1)

    

7) 得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、...n阶的跳的方式时，总得跳法为：

              | 1       ,(n=0 ) 

f(n) =     | 1       ,(n=1 )

              | 2*f(n-1),(n>=2) = 2 ^ ( n - 1)

代码

//位移操作
public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if (target <= 0) {
            return 0;
        }
        return 1 << (target - 1);
    }
}

//简单递归
public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if (target <= 0) {
            return -1;
        } else if (target == 1) {
            return 1;
        } else {
            return 2 * JumpFloorII(target - 1);
        }
    }
}

//自己写的
public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if (target <= 0) {
            return 0;
        } else if (target == 1) {
            return 1;
        } else if (target == 2) {
            return 2;
        } else if (target == 3) {
            return 4;
        }
        int sum = 0;
        int startIndex = 1;
        while (startIndex < target) {
            sum += JumpFloorII(target - startIndex);
            startIndex++;
        }
        return sum + 1;
    }
}

自己写的思路：其实也是f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) .....+ f(n - n);

这里的f(n - n)，其实是一条跳n阶，步长为n，所以就是1。