坐标轴的旋转及绕某一点旋转后坐标值求解

 

 坐标轴的旋转

不改变坐标原点的位置和单位长度，只改变坐标轴方向的坐标系的变换，叫做坐标轴的旋转．

 

 

设点M在原坐标系中的坐标为(x,y)，对应向量的模为r，幅角为α．将坐标轴绕坐标原点，按照逆时针方向旋转角θ形成新坐标系，点M在新坐标系中的坐标为（如图2-4），则

 由此得到坐标轴的旋转的坐标变换公式

 

 点绕点旋转

平面上一点x1,y1,绕平面上另一点x2,y2顺时针旋转θ角度 ，怎么求旋转后的x1,y1对应的坐标x，y

x=(x1-x2)cosθ-(y1-y2)sinθ+x2
y=(y1-y2)cosθ+(x1-x2)sinθ+y2

求解过程如下：

可以用极坐标来理解，极坐标系也有两个坐标轴：r（半径坐标）和θ（角坐标）。r坐标表示与极点的距离，θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。

极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值。

x = r*cos（θ），

y = r*sin（θ），

那么，我们以（x2,y2)为圆心，r为半径做圆（半径为点（x1,y1)到（x2,y2)距离）
点（x1,y1)对应圆方程为：
x1-x2=r*cosθ1 

y1-y2=r*sinθ1  

点（x，y）对应圆方程为：

x-x2=r*cos(θ1+ θ) 
y-y2=r*sin(θ2 +θ) 

我们进一步对点（x，y）的方程做展开计算得到

x-x2=r*cos(θ1+ θ) = r*cosθ1*cosθ-r*sinθ1*sinθ=(x1-x2)cosθ-(y1-y2)sinθ
y-y2=r*sin(θ2 +θ) = r*sinθ1*cosθ+r*cosθ1*sinθ=(y1-y2)cosθ+(x1-x2)sinθ

即：

x=(x1-x2)cosθ-(y1-y2)sinθ+x2

y=(y1-y2)cosθ+(x1-x2)sinθ+y2