贝塞尔曲线的理解

Bezier曲线的由来

1962年，法国工程师贝塞尔发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计

Bezier曲线的作用

Bezier曲线是用一系列点控制曲线状态的。主要分为

• 数据点：确定曲线的起始和结束位置
• 控制点：确定曲线的弯曲程度

举例理解：想在AC（起始点和结束点）之间画一个曲线，用B点（控制点）控制这个曲线的弯曲程度

但是控制点是可以多个的，比如两个控制点。以此类推，可以有很多个。

起点和终点都只有一个，但是控制点可以多个，甚至是0，0的时候就是直线啦！

Bezier曲线的原理

为什么几个点就可以得到一个曲线？
先说一个控制点的情况，如图所示：

1. A/B/C三点是确定的
2. 在AB上任取一点D，得到ratio = AD/AB
3. 再由BE/BC = ratio 得到E点
4. 连接DE，同理DF/DE = ratio得到F
5. 而F点就是曲线上的一点，当然凭着这一点是无法得到整条曲线的
6. 于是，再来一遍，重新取D点得到新的F点，以此类推，如图

那么两个控制点呢？
道理是一样的，在AB上任取一点E，得到曲线上的J点。
AE/AB = BF/BC = CG/CD = EH/EF = FI/FG = HJ/HI

最后来个炫酷的四个控制点：

理解Bezier曲线的公式

一次贝塞尔曲线

一次贝塞尔曲线（也是线性贝塞尔曲线）公式：B(t) = (1 - t) * P0 + tP1

• t表示在 P0P1/P0P1之间任取一点P2，t = P0P2/P0P1，也就是比例，公式里的P0和P1同步表示其x轴坐标或者y轴坐标。
• 已知P0的坐标是（a,b），P1的坐标是（c,d），那么假设P2的坐标是（x,y）
• (1-t)/(c-x) = t/(x-a) => x = (1-t)a + tc
• 同理 y = (1-t)d + tb
• 于是简写成 B(t) = (1 - t) * P0 + tP1

二次贝塞尔曲线

二次贝塞尔曲线（也是线性贝塞尔曲线）公式：

• t同上
• 在P0P1上的点是A，在P1P2上的点是B，在AB上的点是C，C也就是曲线上的一点。
• A ： tP1 + (1-t)P0
• B ： tP2 + (1-t)P1
• C ： tB + (1-t)A 将A、B换成上式，进行合并同类项

最后得到

同理可得三次贝塞尔曲线：

 原文：https://frontzhm.github.io/2017/07/07/bezier/