如何求欧拉函数？

欧拉函数的表示含义：

表示求小于n的正整数中与n互质的数的个数。

欧拉函数的求法：

性质：

(1) 若n为素数，则φ(n) = n - 1

显然，由于n为素数，1~n-1与n都只有公因子1，因此φ(n) = n - 1。

(2) 若n = p^k，p为素数（即n为单个素数的整数幂），则φ(n) = (p-1)*p^(k-1)

因为n是p的整数幂，因此所有p的倍数和n都不互质。小于n的p的倍数一共有p^(k-1)-1个，因此和n互质的个数为：

p^k-1- (p^(k-1)-1) = p^k - p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1)

(3)若p和q互质，则φ(p*q)= φ(p) * φ(q)

例如：φ(55)=φ(11*5)= φ(11) * φ(5)=（11-1）*（5-1）=40

由以上性质，可以推出以下定理：

(1) 若p为n的约数，则φ(n*p) = φ(n) * p

若p为n的约数，且p为质数。则我们可以将n表示为p^k*m。m表示其他和p不同的质数的乘积。

显然有p^k与m互质，则：

φ(n)
= φ(p^k)*φ(m) = (p-1)*p^(k-1)*φ(m)

φ(n*p)
= φ(p^(k+1))*φ(m) = (p-1)*p^k*φ(m) = (p-1)*p^(k-1)*φ(m) * p = 
φ(n) * p

(2) 若p为不为n的约数，则φ(n*p) = φ(n) * (p-1)

由p不为n的约数，因此p与n互质，所以φ(n*p) = φ(n) * φ(p) = φ(n)*(p-1)

有了这些定理，就可以用Eular筛法求出欧拉函数了。

因为每个素数都可以直接计算，每个合数都会被筛掉，所以每个数都会计算到。