基于大整数因子分解困难问题--RSA公钥密码算法
RSA公钥密码算法
RSA的安全性依赖于大数分解,
在RSA私钥和公钥生成的过程中,共出现过p,q,n,φ(n),e,d,其中(n,e组成公钥),其他的都不是公开的,一旦d泄露,就等于私钥泄露。那么能不能根据n,e推导出d呢?
ed ≡ 1(mod φ(n))。只有知道e和φ(n),才能算出d
φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q,才能算出φ(n)
n=pq,只有将n分解才能算出p和q
所以,只有将n质因数分解,才能算出d。也就意味着私钥破译。
但是,大整数的质因数分解是非常困难的。
RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分解。分解n是最显然的攻击方法。人们已能分解多个十进制位的大素数。因此,模数n必须选大一些,因具体适用情况而定。
一:简介
RSA公钥加密算法是1977年由罗纳德·李维斯特(Ron Rivest)、阿迪·萨莫尔(Adi Shamir)和伦纳德·阿德曼(Leonard Adleman)一起提出的。
算法简介:https://baike.so.com/doc/133562-141114.html
二:算法描述
密钥生成:选取大素数p,q,计算n=pq,以及n的欧拉函数,φ(n)= φ(p)φ(q)=(p-1)(q-1)
选取e(1<e<φ(n)),e 与φ(n)互素,计算d,使得ed=1(modφ(n))
公钥为(n,e),私钥为(n,d)
加密:c=memod n
解密:e=mdmod n
三:涉及到的知识点
欧拉函数φ(n)表示不大于n且与n互素的正整数的个数。
当n是素数,φ(n)=n-1。n=pq,p,q均为素数时,则φ(n)= φ(p)φ(q)=(p-1)(q-1)。
对于互素的a和n,有a^φ(n)≡1(mod n)
如何利用计算机程序从公钥e,以及φ(n)求得私钥d?
问题可以化为求: e *x +φ(n)* y = 1 类型的方程,利用扩展欧几里得算法求解
那如何在计算机内验证他们互质呢,此时就要用到欧几里德算法(就是小学时候的最大公约数),如果e和phi(n)的最大公约数为1,他们就互质。
费马定理
若p是素数,a与p互素,则
a^(p-1)≡1 (mod p)
本文来自博客园,作者:Jaoany,转载请注明原文链接:https://www.cnblogs.com/fanglijiao/p/15038435.html