代码随想录｜完全背包

完全背包

● 518. 零钱兑换 II

● 377. 组合总和 Ⅳ

● 70. 爬楼梯（进阶）

● 322. 零钱兑换

● 279.完全平方数

● 139.单词拆分

● 关于多重背包，你该了解这些！

● 背包问题总结篇！

完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

其实还有一个很重要的问题，为什么遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环？

在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！

518.零钱兑换II

class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        dp = [0 for _ in range(5004)]
        dp[0] = 1
        for i in coins:
            for j in range(i, amount+1):
                dp[j] = dp[j] + dp[j-i]
        return dp[amount]

377. 组合总和 Ⅳ

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

class Solution:
    def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        dp = [0 for _ in range(1008)]
        dp[0] = 1
       
        for j in range(0, target+1):
             for i in nums:
                dp[j] = dp[j] + dp[j-i]
        return dp[target]

70. 爬楼梯

使用完全背包解决这个问题，一定要记住4个步骤，千万不要漏

这题和上一题一样涉及的是排列而不是组合，所以我们用的是外面是pd里面是1或者2

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        # if n == 1:
        #     return 1
        # if n == 2:
        #     return 2
        # dp = [0 for _ in range(n+1)]
        # dp[1] = 1
        # dp[2] = 2
        # for i in range(3, n+1):
        #     dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        # return dp[n]
        pd = [0 for _ in range(46)]
        pd[0] = 1
        for i in range(n+1):
            for j in range(1, 3):
                pd[i] = pd[i] + pd[i-j]
        return pd[n]

322. 零钱兑换

这题可以用的是完全背包，注意的是一定要考虑很多细节

首先需要考虑的是初始化的问题，因为这题说的是min，最少的话是1个，反之初始化就是0

如果想要简单可以使用float('inf')

时间复杂度：O(m*n)

空间复杂度：O(m)

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int: 
        if amount == 0:
            return 0
        dp = [0 for _ in range(20000)]
        for i in range(amount+1):
            for j in coins:
                if i == j:
                    dp[i] = 1
                    continue
                if i < j:
                    continue
                if dp[i-j] > 0:
                    if dp[i] > 0 :
                        dp[i] = min(dp[i], dp[i-j]+1)
                    else:
                        dp[i] = dp[i-j]+1
        print()
        if dp[amount] == 0:
            return -1
        return dp[amount]

279.完全平方数

和上面一题差不多

1. dp[i]是构成i最少需要的完全平方数

2. dp[i] = min(dp[i], dp[i-j*j]+1)

3. 初始化：dp[0] = 0; dp[else] = float('inf')

4. 因为求的是min所以和顺序没有关系

　　i：1～target

　　j: 1 ~ int(i**0.5)

5. 返回 dp[target]

class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        dp = [float('inf') for _ in range(n+10)]
        dp[0] = 0
        for i in range(1, n+1):
            for j in range(1, int(i ** 0.5)+1):
                dp[i] = min(dp[i], dp[i-j*j]+1)
        return dp[n]

139.单词拆分

1. dp[i] 前ith字符能否被dict中的单词组成. 注意！！！可以为boolean类型

2. dp[i] = dp[i] or (dp[i-len(s)] &&(k == target[i-len(s)+1: i+1]))

3. dp[0] = true; dp[else] = Flase

4. i: 0~len(target); k in dict

5. return dp[len(target)]

class Solution:
#1. dp[i] 前ith字符能否被dict中的单词组成.    注意！！！可以为boolean类型

# 2. dp[i] = dp[i] or (dp[i-len(s)] &&(k == target[i-len(s)+1: i+1]))

# 3. dp[0] = true; dp[else] = Flase

# 4. i: 0~len(target); k in dict

# 5. return dp[len(target)]

    def wordBreak(self, s: str, wordDict: List[str]) -> bool:
        dp = [False for _ in range(len(s)+3)]
        dp[0] = True
        for i in range(1, len(s)+1):
            for j in wordDict:
                if i >= len(j):
                    dp[i] = dp[i] or (dp[i-len(j)] and (j == s[i-len(j): i]))
        return dp[len(s)]

总结篇

在讲解背包问题的时候，我们都是按照如下五部来逐步分析，相信大家也体会到，把这五部都搞透了，算是对动规来理解深入了。

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组

其实这五部里哪一步都很关键，但确定递推公式和确定遍历顺序都具有规律性和代表性，所以下面我从这两点来对背包问题做一做总结。

背包递推公式

问能否能装满背包（或者最多装多少）：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]); ，对应题目如下：

问装满背包有几种方法：dp[j] += dp[j - nums[i]] ，对应题目如下：

问背包装满最大价值：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); ，对应题目如下：

动态规划：474.一和零(opens new window)

问装满背包所有物品的最小个数：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]); ，对应题目如下：

#遍历顺序

#01背包

在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！ (opens new window)中我们讲解二维dp数组01背包先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

和动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中，我们讲解一维dp数组01背包只能先遍历物品再遍历背包容量，且第二层for循环是从大到小遍历。

一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维dp数组实现的01背包其实是有很大差异的，大家需要注意！

#完全背包

说完01背包，再看看完全背包。

在动态规划：关于完全背包，你该了解这些！ (opens new window)中，讲解了纯完全背包的一维dp数组实现，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

但是仅仅是纯完全背包的遍历顺序是这样的，题目稍有变化，两个for循环的先后顺序就不一样了。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。