01 背包
有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
二维dp数组01背包
1. 确定dp数组以及下标的含义
对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
2. 确定递推公式
再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，
-
- 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
- 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
3.dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
def test_2_wei_bag_problem1(): weight = [1, 3, 4] value = [15, 20, 30] bagweight = 4 # 二维数组 dp = [[0] * (bagweight + 1) for _ in range(len(weight))] # 初始化 for j in range(weight[0], bagweight + 1): dp[0][j] = value[0] # weight数组的大小就是物品个数 for i in range(1, len(weight)): # 遍历物品 for j in range(bagweight + 1): # 遍历背包容量 if j < weight[i]: dp[i][j] = dp[i - 1][j] else: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]) print(dp[len(weight) - 1][bagweight]) test_2_wei_bag_problem1()
def test_2_wei_bag_problem1(weight, value, bagweight): # 二维数组 dp = [[0] * (bagweight + 1) for _ in range(len(weight))] # 初始化 for j in range(weight[0], bagweight + 1): dp[0][j] = value[0] # weight数组的大小就是物品个数 for i in range(1, len(weight)): # 遍历物品 for j in range(bagweight + 1): # 遍历背包容量 if j < weight[i]: dp[i][j] = dp[i - 1][j] else: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]) return dp[len(weight) - 1][bagweight] if __name__ == "__main__": weight = [1, 3, 4] value = [15, 20, 30] bagweight = 4 result = test_2_wei_bag_problem1(weight, value, bagweight) print(result)
一维dp数组（滚动数组）
对于背包问题其实状态都是可以压缩的。
在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。
这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。
读到这里估计大家都忘了 dp[i][j]里的i和j表达的是什么了，i是物品，j是背包容量。
dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组的定义
在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
- 一维dp数组的递推公式
dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp[j]呢？
dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。
dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）
此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，
这里大家发现和二维dp的写法中，遍历背包的顺序是不一样的！
二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。
为什么呢？
倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！
举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15
如果正序遍历
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30
此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。
为什么倒序遍历，就可以保证物品只放入一次呢？
倒序就是先算dp[2]
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。
那么问题又来了，为什么二维dp数组历的时候不用倒序呢？
因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！
（如何这里读不懂，大家就要动手试一试了，空想还是不靠谱的，实践出真知！）
再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？
不可以！
因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历（原因上面已经讲了），如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。
倒序遍历的原因是，本质上还是一个对二维数组的遍历，并且右下角的值依赖上一层左上角的值，因此需要保证左边的值仍然是上一层的，从右向左覆盖。
（这里如果读不懂，就再回想一下dp[j]的定义，或者就把两个for循环顺序颠倒一下试试！）
所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的！，这一点大家一定要注意。
def test_1_wei_bag_problem(): weight = [1, 3, 4] value = [15, 20, 30] bagWeight = 4 # 初始化 dp = [0] * (bagWeight + 1) for i in range(len(weight)): # 遍历物品 for j in range(bagWeight, weight[i] - 1, -1): # 遍历背包容量 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]) print(dp[bagWeight]) test_1_wei_bag_problem()
416. 分割等和子集
只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。
- 背包的体积为sum / 2
- 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
- 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
- 背包中每一个元素是不可重复放入。
class Solution: def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool: target = sum(nums) if target % 2 == 1: return False target //= 2 bag = [0 for _ in range(20002)] for i in nums: for j in range(target, i-1, -1): bag[j] = max(bag[j], bag[j-i]+i) print(bag) if bag[target] == target: return True return False
1049.最后一块石头的重量II
两个石头相碰，会消失min(a, b), 所以我们要将其变成两个部分，只要和最相近就行，所以用背包向上一题那样测试离sum/2最近的和
class Solution: def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int: target = sum(stones)//2 box = [0 for _ in range(3005)] for stone in stones: for j in range(target, stone-1, -1): box[j] = max(box[j], box[j-stone]+stone) return sum(stones)-2*box[target]
494.目标和
目标是用+-号将一串数字变为target，问有多少种方式
那我们就定义dp数组的含义是dp[i]组成i有多少种方式
目的是求得（sum-target)//2的和有多少种方式
dp[i] = dp[i]+dp[i-k]
class Solution: def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int: sums = sum(nums)-target if sums % 2 == 1 or sums < 0: return 0 sums = sums//2 bag = [0 for _ in range(3005)] bag[0] = 1 for num in nums: for j in range(sums, -1, -1): if j >= num: bag[j] = bag[j] + bag[j-num] return bag[sums]
474.一和零
看清题目说的是求最多有多少个字符串，而不是求有多少种组合方式
dp数组的定义：dp[i][j]在可以有i个0和j个1的情况下最多能有多少个字符串
我们的dp方程应该为： dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-zeros][j-one]+1)
初始化：dp[i][j] = 0
返回值：dp[m][n]
class Solution: def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int: nums = [[0 for _ in range(len(strs))] for _ in range(2)] for i in range(len(strs)): for t in strs[i]: if t == "0": nums[0][i] += 1 else: nums[1][i] += 1 dp = [[0 for _ in range(105)] for _ in range(105)] for k in range(len(strs)): for i in range(m, -1, -1): for j in range(n, -1, -1): if i >= nums[0][k] and j >= nums[1][k]: dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - nums[0][k]][j - nums[1][k]]+1) return dp[m][n]
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