恨 7 不成妻

https://loj.ac/problem/10168

题目描述

  求出一段区间内与\(7\)无关的数的平方和，我们定义这个数与\(7\)有关当且仅当这个数满足下列条件之一：1、某一位为\(7\)；2、数位和为\(7\)的倍数；3、这个数本身是\(7\)的倍数。

思路

  这题并不算裸的数位\(dp\)题，显然如果对于计数我们很容易得到这个区间内满足条件的个数，而为了使数位\(dp\)的\(dp\)能够有子状态重叠，我们仍然考虑计数，不过对于每一位的处理可以转化为记录它的状态，我们用一个三元组\((cnt,sum,sqsum)\)描述这个状态，它代表这这个状态下符合条件的数的个数\(cnt\)，这后几位数的和对答案的贡献，后几位的平方和对答案的贡献。显然\(cnt\)可以直接求出来。

  而对于另两个值，我们考虑当前位为\(pos\)，选取的值为\(i\)，\(tmp\)为传回来的答案，那么显然\(ans.sum=(ans.sum+tmp.cnt*10^{pos}*i)\)，因为每一个符合条件的数这一位都为\(i\)，对和有\(i*10^{pos}\)的贡献。而对于平方和，我们要求的实际就是\(\sum(i*10^{pos}+x)^2\)(\(x\)符合条件)，所以我们暴力把它拆开，得到\(\sum (i^2*10^{2*pos}+2*i*10^{pos}*x+x^2)\)，再把求和拆开得\(\sum i^2*10^{2*pos}+\sum 2*i*10^{pos}*x+\sum x^2\)，这个我们可以用得到的三元组\((cnt,sum,sqsum)\)直接转移。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;

struct Node
{
	ll cnt,sum,sqsum;
	Node(ll cnt=0,ll sum=0,ll sqsum=0):cnt(cnt),sum(sum),sqsum(sqsum){}
};
Node dp[31][11][11];
ll p[30];
ll power[30];

ll sqr(ll x)
{
	return x*x%mod;
}
Node dfs(ll pos,ll s1,ll s2,ll flag)
{
//	cout<<pos<<'z'<<endl;
	if(pos==0)
		return Node(s1!=0&&s2!=0,0,0);
	if(!flag&&~dp[pos][s1][s2].cnt)return dp[pos][s1][s2];
	Node tmp,ans=Node(0,0,0);
	ll end=flag?p[pos]:9;
//	cout<<pos<<' '<<end<<endl;
	for(ll i=0;i<=end;i++)
	{
		if(i==7)continue ;
		tmp=dfs(pos-1,(s1+i)%7,(s2*10+i)%7,flag&&i==end);
		ans.cnt+=tmp.cnt;
		ans.cnt%=mod;
		ans.sum+=(tmp.sum+tmp.cnt*power[pos]%mod*i%mod)%mod;
		ans.sum%=mod;
		ans.sqsum+=(tmp.sqsum+2*power[pos]*i%mod*tmp.sum%mod+sqr(i)*sqr(power[pos])%mod*tmp.cnt%mod)%mod;
		ans.sqsum%=mod;
	}
	if(!flag)dp[pos][s1][s2]=ans;
	return ans;
}
ll solve(ll x)
{
	memset(p,0,sizeof(p));
	ll cnt=0;
	while(x)
	{
		p[++cnt]=x%10;
		x/=10;
	}
	return dfs(cnt,0,0,1).sqsum;
}

ll read()
{
	ll res=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	return res*w;
}
void write(ll x)
{
	if(x<0){putchar('-');x=-x;}
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
void writeln(ll x)
{
	write(x);
	putchar('\n');
}

int main()
{
	ll t=read();
	power[1]=1;
	for(ll i=2;i<=21;i++)
		power[i]=(power[i-1]*10)%mod;
	for(ll i=0;i<=21;i++)
		for(ll j=0;j<=10;j++)
			for(ll k=0;k<=10;k++)
				dp[i][j][k].cnt=-1;
	while(t--)
	{
		ll l=read(),r=read();
		writeln(((solve(r)-solve(l-1))%mod+mod)%mod);
	}
}