生日蛋糕
https://loj.ac/problem/10019
题目描述
有一个\(M\)层的生日蛋糕,它的体积为\(Nπ\),它每层的半径随层数增加而增加,我们要在蛋糕外表面(出最后一层底面外)涂抹奶油,求蛋糕上涂抹奶油的面积最小为多少。输出\(Q\)表示涂抹面积为\(Qπ\)。
思路
\(dfs\)的剪枝主要包括\(5\)类,优化搜索顺序,排除等效冗余,可行性剪枝,最优性剪枝,记忆化。
这道题我们主要运用前四个剪枝。
1、上下界剪枝
当我们递归到第\(dep\)层时,我们只需要从以下范围枚举
先枚举\(R∈[ dep , min\{\sqrt{N-v},r[ dep + 1] - 1\}]\)
再枚举\(H∈[ dep , min\{(N-v)/R^2,r[ dep + 1] - 1\}]\)
这里\(R\)和\(H\)的下界是比较显然的,而上界都可以由公式\(πR^2H = π(N - v)\)得到
2、优化搜索顺序
这是这道题最重要的优化,虽然简单,却大大提高了搜索效率。在\(loj\)上测试,正序搜索总时间\(1300ms+\),倒序搜索总时间\(9ms\)。
倒序搜索可以快速得到较优解,从而结合其他剪枝避免了次优解的过多更新,但这里的严谨证明根本无从下手,作为\(OIer\)我们可以通过造数据来测试哪一种搜索
顺序更快。
3、可行性剪枝
我们可以预处理出还剩下\(dep\)层的最小体积\(minv[dep]\),这样就有了以下剪枝:
\(minv[ dep ] + v>N\) 直接\(return\)
4、最优性剪枝
\(①\)与可行性剪枝类似,我们可以预处理出还剩下\(dep\)层的最小表面积\(mins\),如果\(mins[dep] + s>ans\),可以\(return\)。
\(②\)这个剪枝就比较复杂,需要一定的数学推导
首先利用\(h\)和\(r\)数组,\(1\sim dep-1\)的体积可表示为:
同时,\(1\sim dep-1\)层的表面积可表示为:
而显然我们可以得到
由于对于\(\forall k∈[ 1, dep - 1],r [ k ]<r [ dep ]\),所以:
而后面的求和公式即为我们上面提到的\(N - v\),所以联立可得:
所以当这个值加目前的表面积\(s\)大于\(ans\)时可以剪枝。
这个剪枝的效率也相当高,未加此剪枝时间\(1350ms+\)。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,ans=0x7fffffff;
int mins[30],minv[30];
bool check1(int d,int s)
{
if(mins[d]+s>ans)return 1;
return 0;
}
bool check2(int d,int v)
{
if(minv[d]+v>n)return 1;
return 0;
}
void dfs(int dep,int s,int v,int r,int h)
{
if(dep==0)
{
if(v==n&&s<ans)ans=s;
return ;
}
if(check1(dep,s)||check2(dep,v))return ;
if(2*(n-v)/r+s>ans)return ;
for(int R=min((int)sqrt(n-v),r-1);R>=dep;R--)
{
if(dep==m)s=R*R;
for(int H=min((int)(n-v)/(R*R),h-1);H>=dep;H--)
// cout<<H<<' '<<R<<endl;
dfs(dep-1,s+2*R*H,v+R*R*H,R,H);
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
mins[i]=mins[i-1]+2*i*i;
minv[i]=minv[i-1]+i*i*i;
}
// for(int i=1;i<=m;i++)
// printf("%d %d\n",mins[i],minv[i]);
dfs(m,0,0,n+1,n+1);
printf("%d",ans);
return 0;
}