灯泡

https://loj.ac/problem/10016

题目描述

  已知\(H、h、D\)，求最大影子长度\(L\)。

思路

  这道题是纯粹的数学题，只是用三分来求解最值而已。我们将灯的光线和地板延长交于一点，那么可以形成一组相似三角形。我们设人到灯的距离为\(x\)，人到墙的距离为\(x1\)，人的影子的高度为\(x2\)，那么根据相似和三角函数可知:

\[x1 = D - x \\ 连线交点的角:tanθ = （H - h）/ x \\ 那么可以知道:x2 = H - tanθ * D = H - D *(H - h) / x \\ 由此可得 L = x1 + x2 = D - x + H - D*(H - h)/ x \]

  而数学好的同志会知道这是一个打钩函数，并且在\([ 0 , +∞ ]\) 为单峰函数，那么就可以用三分求最值时\(x\)的值。不过纯数学也是可以解决的，可以直接求出最值时\(x\)的取值，我在此就不加叙述了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
double H,h,D;
double f(double x)
{
    double x1=D-x;
    double x2=H-(H-h)*D/x;
    return x1+x2;
}
int main() 
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lf%lf%lf",&H,&h,&D);
        double l=(H-h)*D/H,r=D,eps=1e-8;
        while(r-l>eps)
        {
            double lmid=l+(r-l)/3;
            double rmid=r-(r-l)/3;
            if(f(lmid)<=f(rmid))l=lmid;
            else r=rmid;
        }
        printf("%.3lf\n",f(r));
    }
    return 0;
}