加工生产调度

https://loj.ac/problem/10003

题目描述

  有n个产品需要先后进行A、B两个任务，求最小的任务完成时间及任意一种加工顺序。

思路

  从直观上看，可以知道最优调度一定要使第一个机器不要有空闲，第二个机器的空闲时间尽可能短。这道题是Johnson法则的模板：先行工序施工工期短要排在前，后续工序施工工期短要放在后面。在这道题中，我们只需将所有任务分为两个集合，\(N_1=\{A任务时间大于等于B任务时间\}\)，\(N_2=\{A任务时间小于B任务时间\}\)，将\(N_1\)中的任务按\(A\)任务时间升序排序，将\(N_2\)中的任务按\(B\)任务时间降序排序，依次遍历\(N_1\)，\(N_2\)中的任务，得到的便是最优解。下面就需要证明这个贪心策略的正确性。

  证明：

  假设序列\(S=\{J_1，J_2，...，J_n\}\)，为加工部件的作业顺序，我们设t为经过t时刻B机器可以开始加工A机器中已经完成加工的产品。

  再设完成任务的最短时间\(T(S，t)=min\{a_i + T(S - \{J_i\}，b_i + max(t - a_i，0))\}\)，关于\(T\)这个等式显然是成立的，因为\(min\)中完成任务的时间为\(T\)(除去\(i\)产品的序列，\(B\)机器还需要的总时间)+完成第\(i\)个产品\(A\)任务的时间。

  我们运用反证法，假设任务i在任务j之前执行：

  \(T(S，t)=a_i+T(S - \{J_i\}，b_i + max\{t - a_i，0\})\)

       \(=a_i+a_j+T(S-\{J_i + J_j\}，b_j + max\{b_i + max\{t-a_i\} - a_j，0\})\)
//\(max\{t’ - a_j，0\}\)中的\(t’=b_i + max\{t - a_i，0\} - a_j\)即做i产品时还需时间减做j产品A任务时间

       \(=a_i+a_j+T(S-{J_i + J_j}，T_{ij})\)

  \(T_{ij} = b_j + max\{b_i + max\{ t - a_i \} - a_j，0\}\)

    \(= b_j + b_i - a_j + max\{t - a_i ，a_j - b_i ， 0 \}\)

    \(= b_j + b_i - a_j - a_i + max\{t ，a_j + a_i - b_i ， a_i \}\)

  那么如果将产品i和产品j的工作顺序调换，那么可以得到

  \(T’(S，t)= a_i + a_j + T(S - \{J_i，J_j\}，T_{ji})\)

  \(T_{ji}=b_i + b_j - a_i - a_j + max\{t，a_i + a_j - b_j，a_j\}\)

  由于假设了\(i\)产品在\(j\)产品之前生产为最优方案，那么有\(T ≤ T’\)

  所以：\(max\{t ，a_j + a_i - b_i ， a_i \} ≤ max\{t ，a_i + a_j - b_j，a_j\}\)

  (由于一种不知名的原因可以消去\(t\)，此处留坑)

  因此：\(a_i + a_j +max\{ -b_i ， -a_j\} ≤ a_i + a_j +max\{ -b_j ， -a_i\}\)

  即\(max\{ b_i ， a_j \} ≥ max\{ b_j ， a_i \}\) 也就是\(Johnson\)法则的公式

  \(\color{red}{但这里不能用这个条件作为sort的cmp，因为它并不满足传递性}\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct machine
{
    int a,b,id;
}x[1100],x1[1100],x2[1100];
bool cmp1(machine a,machine b)
{
    return a.a<=b.a;
}
bool cmp2(machine a,machine b)
{
    return a.b>=b.b;
}
int main() 
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&x[i].a);
        x[i].id=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&x[i].b);
    int cnt1=0,cnt2=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(x[i].a<x[i].b)x1[++cnt1]=x[i];
        else x2[++cnt2]=x[i];
    sort(x1+1,x1+cnt1+1,cmp1);
    sort(x2+1,x2+cnt2+1,cmp2);
    int ans=0,t=0,k=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(i<=cnt1)x[i]=x1[i];
        else x[i]=x2[i-cnt1];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        k+=x[i].a;
        if(t<k)t=k;
        t+=x[i].b;
    }
    printf("%d\n",t);
    printf("%d",x[1].id);
    for(int i=2;i<=n;i++)
        printf(" %d",x[i].id);
    return 0;
}