相框

https://loj.ac/problem/10111

题目描述

  给出一张图，可以有两种操作：\(①\)把一个点拆成若干点，连在这个点上的边可以任意连到拆成的点上。\(②\)将两条边自由端熔融成一个点。求最少的操作数使得这张图变成一个简单环。

思路

  还是一样，我们从最简单开始，如果图是一个连通图，那么我们考虑最后的简单环每个点的度均为\(2\)，所以我们计奇数点的个数为\(cnt1\)，度大于\(2\)的点的个数为\(cnt2\)，那么对于\(cnt2\)个点，我们都需要进行至少一次的熔断，接下来思考能如何进行最少的熔融次数使图变成一个简单环，由于奇数的存在，所以熔断之后必定仍然存在奇数点，因此以最少的次数消去奇数点至少要\(\frac{cnt}{2}\)次（奇数点个数必定为偶数），答案即为\(cnt2+\frac{cnt1}{2}\)。

  再复杂化，如果是由多个连通块构成，那么我们先要考虑把每个连通块都操作成一条链，再通过熔融操作连接起来，对于每个一个连通块，我们进行分类讨论：

  \(①\)如果存在奇数点，那么就不用管，显然可以通过\(cnt2+\frac{cnt1-2}{2}\)变为一条链，再加上分摊到每个连通块的一个熔融连接操作，不改变操作次数。

  \(②\)如果不存在奇数点，就需要造出两个度为\(1\)的点，\(cnt1\)要加\(2\);

   （一）如果存在度大于\(2\)的点，可以在熔断的时候分割成两个度为\(1\)的点

   （二）如果不存在度大于\(2\)的点，就需要额外一次操作造出这样一个节点来完成分割，\(cnt2\)加\(1\)

  剩下就是一些细节问题，由于点是可以乱搞的，重要的是边，所以孤立点不用考虑。判连通性时用并查集即可，注意初始赋值不是\(n\)，因为有\(0\)号节点存在，最多点数为\(m*2\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2100,M=55000<<1;

struct Edge
{
    int x,y;
}e[M];

int fa[M];
int find(int x)
{
    return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
void f_union(int x,int y)
{
    int fx=find(x),fy=find(y);
    if(fx!=fy)fa[fx]=fy;
}

int read()
{
    int res=0,w=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){res=(res<<3)+(res<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return res*w;
}

int deg[M];
bool flag1[M],flag2[M];
int main() 
{
    int n,m;
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m*2;i++)
        fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        if(!x)x=++n;
        if(!y)y=++n;
        e[i].x=x;e[i].y=y;
        deg[x]++;deg[y]++;
        f_union(x,y);
    }
    int sum=0; 
    int cnt1=0,cnt2=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(deg[i]==0)continue ;
        if(find(i)==i)sum++;
        if(deg[i]&1)
        {
            cnt1++;
            flag1[find(i)]=1;
        }
        if(deg[i]>2)
        {
            cnt2++;
            flag2[find(i)]=1;
        }
    }
    if(sum>1)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(deg[i]&&find(i)==i&&!flag1[i])
            {
                cnt1+=2;
                if(!flag2[i])++cnt2;
            }
    printf("%d",cnt2+cnt1/2);
    return 0;
}