最大公约数

一、辗转相除法

　　gcd（a，b）=gcd（b，a%b）

二、二进制算法优化

　　若x=y，则gcd（x，y）=x，否则：

　　①若x，y均为偶数，则gcd（x，y）=2*gcd（x/2，y/2）；

　　②若x为奇数，y为偶数，则gcd（x，y）=2*gcd（x，y/2）；

　　③若x为偶数，y为奇数，则gcd（x，y）=2*gcd（x/2，y）；

　　④若x，y均为奇数，则gcd（x，y）=gcd（x-y，y）；

　　代码实现

int gcd(int x,int y)
{
    int i,j;
    if(x==0)return y;
    if(y==0)return x;
    for(i=0;!(x&1);i++)x>>=1;
    for(j=0;!(y&1);j++)y>>=1;
    if(j<i)i=j;
    while(1)
    {
        if(x<y)x^=y,y^=x,x^=y;
        x-=y;
        if(x==0)return y<<i;
        while(!(x&1))x>>=1;
    }
}

三、最小公倍数

　　LCM（a，b）×GCD（a，b）=a×b

四、扩展欧几里得算法

　　首先我们有结论：ax+by=c的充分必要条件是gcd（a，b）|c

　　所以我们可以用扩展欧几里得定理来求解一组ax+by=gcd（a，b）的解

　　∵gcd（a，b）=gcd（b，a%b）

　　∴ax+by=gcd（a，b）=gcd（b，a%b）=bx+（a%b）y=bx+（a-a/b*b）y=ay+（x-a/b*y）b

　　因此就可以得到x、y的转移等式，而b=0时显然x=1，y=0。

五、求解线性同余方程

　　对于不定方程ax+by=c，等价于ax≡c（mod b），所以当我们用扩展欧几里得定理求出一组特解x0、y0后，通解为：

　　x=x0+b*t，y=y0-a*t，其中t为任意整数。

　　而对于最小正整数解，设t=b/gcd（a，b），x=（x%t+t）%t。

例1：欧几里得的游戏

　　有两个数M、N，每次可以将大的数减去小的数的正整数倍，先得到0的人获胜，给出M、N，求先手胜还是后手胜。

　　首先我们考虑特例，这里假设所有M>N：

　　①如果M%N=0，那么显然先手胜。

　　②如果M%N≠0，那么显然（M，N）这个状态可以转移到（M-N*K，N），极限状态为（N，M%N），这样就相当于又开了一局游戏。而对于每一种极限状态，我们都可知N<M<N*2，所以我们可以考虑取到（M%N+N，N），那么就保证每一次自己操作都是极限状态，而对于结束状态一定是极限状态，所以在两个人都按最优策略取时，胜方必定可以保证自己每次都取到极限状态，所以相当于做一次欧几里得算法。

　　代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int m,n;
        scanf("%d%d",&m,&n);
        if(m<n)m^=n,n^=m,m^=n;
        bool f=1;
        while(m/n==1&&m%n!=0)
        {
            int t=m%n;m=n;n=t;
            f^=1;
        }
        if(f)printf("Stan wins\n");
        else printf("Ollie wins\n");
    }
}