同余

定义及性质

　　定义：对于a、b两个整数，如果a和b的差能被m整除，那么a和b关于模m同余，记作a≡b（mod m）

　　对于整数a，b，c和自然数m、n，模m同余满足：

　　1、自反性：a≡a（mod m）；

　　2、对称性：若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）；

　　3、传递性：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）；

　　4、同加性：若a≡b（mod m），则a+c≡b+c（mod m）；

　　5、同乘性：若a≡b（mod m），则a*c≡b*c（mod m）

　　　　　　　  若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a*c≡b*d（mod m）；

　　6、同幂性：若a≡b（mod m），则aⁿ≡bⁿ（mod m）；

　　7、推论1：a*b mod k=（a mod k）*（b mod k）mod k；

　　8、推论2：若a mod p=x，a mod q=x，p、q互质，则a mod p*q=x

　　　　证明：设a div p=k1，b div q=k2

　　　　　　∴a=p*k1+x，b=k2*q+x

　　　　　　∴p*k1=q*k2

　　　　　　∵p、q互质

　　　　　　∴k1÷q必定为整数，即q|k1

　　　　　　∴a=k*p*q+x

例1：Semi-prime H-numbers

　　形如4n+1的数称为H数，乘法在H数是封闭的。在这个集合中只能被1和本身整数整除的数称为H-素数，其余为H-合数。定义H-合成数为能且只能分解为2个H-素数的H-合数，求0~h中H-合成数的个数。　　

　　我们先考虑如何快速筛出H-素数，由于乘法在H数内封闭进行，并且有以下结论：

　　1、两个H数乘起来一定是H数

　　证明：我们设第一个H数等于4a+1，另一个为4b+1

　　　　∴（4a+1）（4b+1）=16ab+4a+4b+1=4（4ab+a+b）+1

　　　　∴乘积为H数

　　2、对于一个H-合数，必定可以分解为若干个H-素数的乘积。

　　3、对于一个H-素数，它的倍数一定是H-合数

　　有了以上结论，我们就可以利用类似线性筛的方法，把H-素数筛出来，不过还有一点需要解决，因为乘法封闭进行，因此H-素数的倍数也不是正常意义上的倍数，只是（4n+1），其中n为正整数。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1e6+10;

int prime[100005],sum[N];
bool v[N],is[N];
int main()
{
    int cnt=0;
    for(int i=5;i<N;i+=4)
    {
        if(!v[i])prime[++cnt]=i;
        for(int j=i*5;j<N;j+=i*4)
            v[j]=1;
    }
//    cout<<cnt<<endl;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        for(int j=1;j<=i&&prime[i]*prime[j]<N;j++)
            is[prime[i]*prime[j]]=1;
    for(int i=1;i<N;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+is[i];
    int x;
    while(~scanf("%d",&x)&&x)
        printf("%d %d\n",x,sum[x]);
}