整除
定义
a是b的因数，或b是a的倍数，记作a|b
整除的性质：
①如果a|b，b|c，那么a|c；
②a|b且a|c等价于对于任意整数x、y满足a|（b*x+c*y）;
③设m≠0，那么a|b等价于（m*a）|（m*b）；
④设整数x、y满足a*x+b*y=1，且a|n，b|n，那么（a*b）|n；
证明：∵a|n且b|n
∴（a*b）|（b*n）且（a*b）|（a*n）
∴（a*b）|（a*n*x+b*n*y）
又∵a*n*x+b*n*y=（a*x+b*y）*n=n
∴（a*b）|n。
⑤若b=q*d+c，那么d|b的充要条件是d|c。
例1：church
给出m*n个矩形，每个整数节点上有一个教堂，每个教堂与它八个方向的教堂有连边，求从某一点开始经过所有点的最短路径。
范围：m、n≤10000
首先我们没有特别好的思路，就考虑爆搜打表，打出表后比较和n、m的关系，我们发现对于一般的n、m，满足如果n*m为偶数，那么最少长度即为m*n，否则为m*n+0.414，由于m==1||n==1时不存在1.414的边，特判即可。
例2：strongbox
一个密码满足都是[0，n-1]的整数，并且如果a是密码，b是密码，那么（a+b）%n都是密码，给出n、k和k个整数，其中1~k-1非密码，k为密码，求最多密码数。
范围：1≤k≤250000，k≤n≤1014
结论1：如果x是密码，那么x*k%n也是密码。
证明：显然，它并没有要求a、b不相同，那么x的整数次倍一定是密码。
结论2：如果x是密码，那么gcd（x，n）也是密码。
证明：我们考虑x*k%n=gcd（x，n），我们可以转化为x*k-n*c=gcd（x，n）
∵对于二元一次方程ax+by=c，有整数解当且仅当c%gcd（a，b）==0
∴上述方程对于k一定有正整数解
∴gcd（x，n）也是密码。
结论3：如果x、y是密码，那么gcd（x，y）也是密码
证明：由结论1知（a*x+b*y）%n也是密码
∵a*x+b*y=gcd(x，y)一定有解
∴a*x+b*y≡gcd（x，y）（mod n）一定有解（相等即可）
∵a*x+b*y%n一定是密码
∴gcd（x，y）一定是密码
接下来我们考虑如何利用这几个结论，考虑对于一个密码集合S，设A中所有数的gcd为x
那么我们可以证明不存在比x小的数存在于S中，否则x将不是所有数的gcd
所以S中的数即为x、2x、3x……
因此我们要密码集合尽可能多，那么我们就是要x尽可能的小。
所以对于一个密码，我们可以先用gcd（a[k]，n）将a[k]缩小，可知x是a[k]的因数，但它不是其他任何非密码的因数，因此我们也可以gcd（a[i]，a[k]）把a[i]缩小，因为不是a[k]可以直接排除，这样之后的a[i]也一定是a[k]的因数。
代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ll gcd(ll a,ll b){return !b?a:gcd(b,a%b);} ll a[310000],fac[310000]; bool f[310000]; int main() { ll n,k,cnt=0; scanf("%lld%lld",&n,&k); for(ll i=1;i<=k;i++) scanf("%lld",&a[i]); a[k]=gcd(a[k],n); for(ll i=1;i<k;i++) a[i]=gcd(a[i],a[k]); for(ll i=1;i*i<=a[k];i++) if(a[k]%i==0) { fac[++cnt]=i; if(i*i!=a[k])fac[++cnt]=a[k]/i; } sort(fac+1,fac+cnt+1); for(ll i=1;i<k;i++) { ll pos=lower_bound(fac+1,fac+cnt+1,a[i])-fac; if(pos<=cnt)f[pos]=1; } for(ll i=1;i<=cnt;i++) if(f[i]) for(ll j=1;j<i;j++) if(fac[i]%fac[j]==0)f[j]=1; for(ll i=1;;i++) if(!f[i]){printf("%lld",n/fac[i]);break ;} }
