HDU 1394 树状数组+离散化求逆序数

对于求逆序数问题，学会去利用树状数组进行转换求解方式，是很必要的。

一般来说我们求解逆序数，是在给定一串序列里，用循环的方式找到每一个数之前有多少个比它大的数，算法的时间复杂度为o(n2)。

那么我们通过树状数组可以明显提高时间效率。

我们可以按照排列的顺序依次将数字放入树状数组中，并依次更新预与之相关联的树状数组元素。那么在将其更新完毕后，我们知道每个数对应的树状数组元素的左边的数肯定比它小，我们在以序列顺序依次更新树状数组时，如果有值在它前面出现，那么它对应的树状数组元素（在这个题目里存放的是个数）值必然增加，我们可以利用树状数组快速求一段区间的总和（这一段是比它小的数字的总个数）。那么用i-sum得到的就是逆序数了。

当然，另外还要注意到一点由于数字可能很大，那么我们开那么大的数组是不合理地，为此我们用离散化的方式来处理r[num[i].tag]=i;（r[MAXN]存放离散数据，即用i=1;i<=t;i++从小到大表示递增的数据，以便充分使用每一个数组元素，类似于map的功能，映射。）

所以因为有这一步，所以要先sort，然后将数值离散化。这样每一个数的更新仅需o(log(n))

总的时间降为o(nlog(n))。

带着代码再加深理解：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAXN 5005
using namespace std;
struct node
{
    int val;
    int tag;
}num[MAXN];
int t;
int r[MAXN],c[MAXN];//c[MAXN]为已经离散化的树状数组元素
bool cmp(node a,node b)
{
    return a.val<b.val;
}
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
void update(int x)
{
    while(x<=t)
    {
        c[x]+=1;
        x+=lowbit(x);
    }
}
int s(int x)
{
    int sum=0;
    while(x>0)
    {
        sum+=c[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return sum;
}
int main()
{
    int i,j,ans,min;
    while(cin>>t)
    {
        ans=0;
        memset(c,0,sizeof(c));
        for(i=1;i<=t;i++)
        {
            scanf("%d",&num[i].val);
            num[i].tag=i;
        }
        sort(num+1,num+t+1,cmp);
        for(i=1;i<=t;i++)
        {
            r[num[i].tag]=i;//进行离散化
        }
        for(i=1;i<=t;i++)
        {
            update(r[i]);
            ans=ans+i-s(r[i]);
        }
        min=ans;
        for(i=1;i<t;i++)
        {
            ans=ans-r[i]+1+t-r[i];
            min=ans<min?ans:min;
        }
        printf("%d\n",min);
    }
    return 0;
}